Question

对任意整数 $m$ 和 $k$ ，其中 $k$ 为奇数，记 $\left[\dfrac{m}{k}\right]$ 为最接近 $\dfrac{m}{k}$ 的整数。对每个奇整数 $k$ ，从区间 $1\le n\le99!$ 中随机选取一个整数 $n$ ，并令 $P(k)$ 为下式成立的概率：当 $k$ 遍历区间 $1\le k\le99$ 内的所有奇整数时， $P(k)$ 的最小可能值是多少？ $\left[\dfrac{n}{k}\right]+\left[\dfrac{100-n}{k}\right]=\left[\dfrac{100}{k}\right]$

For every $m$ and $k$ integers with $k$ odd, denote by $\left[\dfrac{m}{k}\right]$ the integer closest to $\dfrac{m}{k}.$ For every odd integer $k,$ let $P(k)$ be the probability that $\left[\dfrac{n}{k}\right]+\left[\dfrac{100-n}{k}\right]=\left[\dfrac{100}{k}\right]$ for an integer $n$ randomly chosen from the interval $1\le n\le99!.$ What is the minimum possible value of $P(k)$ over the odd integers $k$ in the interval $1\le k\le99?$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{50}{99}$

$\dfrac{44}{87}$

$\dfrac{34}{67}$

$\dfrac{7}{13}$

答案：D

知识点：模运算取整函数基本概率

难度评级：2650

解答：

因为 $\left[\dfrac{n+mk}{k}\right]=\left[\dfrac{n}{k}\right]+m$ ，所以 $n$ 是否满足恒等式只取决于 $n\bmod k$ 。由于 $k\mid99!$ 对 $1\le k\le99$ 成立，每个剩余类等可能。

写 $100=qk+r$ ，其中 $n=q_1k+r_1$ 。分析 $[-(k-1)/2,(k-1)/2]$ 中的进位可知，恒等式恰对某个适当长度区间内的剩余类成立，因此 $r\ge0$ ， $r-(k-1)/2\le r_1\le(k-1)/2$ ； $k-r$ $r<0$ $k+r$ $P(k)=1-\dfrac{|r|}{k}.$

要最小化 $P(k)$ ，就要最大化 $|r|/k$ 。取 $r=(k-1)/2$ 时有 $201=k(2q+1)$ ，而 $k\le99$ 且 $67$ ，所以最大可取 $k=67$ 。于是且它小于其他情况的值。 $201$ 。 $r=-(k-1)/2$ ， $199=k(2q-1)$ ； $199$ $k=1$ $|r|\le(k-3)/2$ ， $\begin{aligned} P(k)&\ge\dfrac12+\dfrac{3}{2k} \\ &\ge\dfrac12+\dfrac{3}{198} \\ &>\dfrac{34}{67}. \end{aligned}$ $P(67)=\dfrac12+\dfrac{1}{2\cdot67}=\dfrac{34}{67}.$

所以正确答案是 D。

Because $\left[\dfrac{n+mk}{k}\right]=\left[\dfrac{n}{k}\right]+m,$ whether $n$ satisfies the identity depends only on $n\bmod k.$ Since $k\mid99!$ for $1\le k\le99,$ every residue class is equally likely.

Write $100=qk+r$ and $n=q_1k+r_1,$ choosing both remainders in $[-(k-1)/2,(k-1)/2].$ If $r\ge0,$ no carry occurs precisely when $r-(k-1)/2\le r_1\le(k-1)/2;$ this gives $k-r$ residue classes. The case $r<0$ similarly gives $k+r$ classes. Hence in both cases $P(k)=1-\dfrac{|r|}{k}.$

To minimize $P(k)$ we maximize $|r|/k.$ If $r=(k-1)/2,$ then $201=k(2q+1),$ and the largest possible $k\le99$ is the divisor $67$ of $201.$ If $r=-(k-1)/2,$ then $199=k(2q-1);$ because $199$ is prime, only $k=1$ is possible. In every remaining case $|r|\le(k-3)/2,$ so $\begin{aligned} P(k)&\ge\dfrac12+\dfrac{3}{2k} \\ &\ge\dfrac12+\dfrac{3}{198} \\ &>\dfrac{34}{67}. \end{aligned}$ For $k=67,$ $P(67)=\dfrac12+\dfrac{1}{2\cdot67}=\dfrac{34}{67}.$

Thus, the correct answer is D.

2011 AMC 12B 第 25 题

答案：D

难度评级：2650

解答：

其他年份的第 25 题