Question

设 $P(z)=z^8+(4\sqrt{3}+6)z^4$ $-(4\sqrt{3}+7)$ 。在复平面中，以 $P(z)$ 的所有零点为顶点的 $8$ 边形中，最小周长是多少？

Let $P(z)=z^8+(4\sqrt{3}+6)z^4$ $-(4\sqrt{3}+7).$ What is the minimum perimeter among all the $8$ -sided polygons in the complex plane whose vertices are precisely the zeros of $P(z)?$

$4\sqrt{3}+4$

$8\sqrt{2}$

$3\sqrt{2}+3\sqrt{6}$

$4\sqrt{2}+4\sqrt{3}$

$4\sqrt{3}+6$

答案：B

知识点：复数单位根因式分解

难度评级：2520

解答：

按 $z^4$ 分解：第一因子给出根 $1,-1,i,-i$ 。又因为 $4\sqrt3+7=(\sqrt3+2)^2$ ，且 $2(\sqrt3+2)=(\sqrt3+1)^2$ ，令 $w=\tfrac12(\sqrt3+1)$ ，另四个根为 $w(\pm1\pm i)$ 。 $\begin{aligned} P(z) &=(z^4-1) \\ &\quad {}\cdot\big(z^4+(4\sqrt3+7)\big). \end{aligned}$

这八个根关于原点对称，并具有 $4$ 重旋转对称性；任意两个根之间的线段长度至少为 $\sqrt2$ 。因此任何这样的八边形周长至少为 $8\sqrt2$ ，而依次取顶点 $1$ 、 $w(1+i)$ 、 $i$ 、 $w(-1+i)$ 、 $-1$ 、 $w(-1-i)$ 、 $-i$ 、 $w(1-i)$ 时可达到该下界。

所以正确答案是 B。

Factoring in $z^4,$ $\begin{aligned} P(z) &=(z^4-1) \\ &\quad {}\cdot\big(z^4+(4\sqrt3+7)\big). \end{aligned}$ The first factor gives the roots $1,-1,i,-i.$ Since $4\sqrt3+7=(\sqrt3+2)^2$ and $2(\sqrt3+2)=(\sqrt3+1)^2,$ writing $w=\tfrac12(\sqrt3+1)$ the other four roots are $w(\pm1\pm i).$

The eight roots are symmetric about the origin with $4$ -fold symmetry, and every segment joining two of them has length at least $\sqrt2.$ Thus any such polygon has perimeter at least $8\sqrt2,$ and the polygon with vertices $1,$ $w(1+i),$ $i,$ $w(-1+i),$ $-1,$ $w(-1-i),$ $-i,$ $w(1-i)$ achieves it.

Thus, the correct answer is B.

2011 AMC 12B 第 24 题

答案：B

难度评级：2520

解答：

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