Question

在 $[0, \pi]$ 中，有多少个 $x$ 的值满足 $\sin^{-1}(\sin 6x) = \cos^{-1}(\cos x)$ ？

注：函数 $\sin^{-1} = \arcsin$ 和 $\cos^{-1} = \arccos$ 表示反三角函数。

For how many values of $x$ in $[0, \pi]$ is $\sin^{-1}(\sin 6x) = \cos^{-1}(\cos x)?$

Note: The functions $\sin^{-1} = \arcsin$ and $\cos^{-1} = \arccos$ denote inverse trigonometric functions.

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

答案：B

知识点：三角学分类讨论

难度评级：2460

解答：

在 $[0, \pi],\ \cos^{-1}(\cos x) = x.$ 因为 $\sin^{-1}$ 的值域是 $[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}],$ 任何解都必须满足 $x \in [0, \tfrac{\pi}{2}],$ 此时方程化为 $\sin 6x = \sin x.$

方程 $\sin6x=\sin x$ 成立，当且仅当对某个整数 $k,$ $\begin{aligned} 6x&=x+2k\pi, \\ \text{or}\qquad 6x&=\pi-x+2k\pi \end{aligned}$ 。

第一族给出 $x=\tfrac{2k\pi}{5},$ 在区间中贡献 $0$ 和 $\tfrac{2\pi}{5}.$ 第二族给出 $x=\tfrac{(2k+1)\pi}{7},$ 贡献 $\tfrac\pi7$ 和 $\tfrac{3\pi}{7}.$ 因此 $[0,\tfrac\pi2].$ 中共有 $4$ 个解。

所以正确答案是 B。

On $[0, \pi],\ \cos^{-1}(\cos x) = x.$ Since $\sin^{-1}$ takes values in $[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}],$ any solution requires $x \in [0, \tfrac{\pi}{2}],$ where the equation becomes $\sin 6x = \sin x.$

The equation $\sin6x=\sin x$ holds exactly when $\begin{aligned} 6x&=x+2k\pi, \\ \text{or}\qquad 6x&=\pi-x+2k\pi \end{aligned}$ for some integer $k.$

The first family gives $x=\tfrac{2k\pi}{5},$ contributing $0$ and $\tfrac{2\pi}{5}.$ The second gives $x=\tfrac{(2k+1)\pi}{7},$ contributing $\tfrac\pi7$ and $\tfrac{3\pi}{7}.$ Hence there are $4$ solutions in $[0,\tfrac\pi2].$

Thus, the correct answer is B.

2009 AMC 12B 第 24 题

答案：B

难度评级：2460

解答：

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