Question

一个三角形的顶点是 $(0, 0)$ ， $(1, 1)$ ，和 $(6m, 0)$ ，直线 $y = mx$ 把该三角形分成两个面积相等的三角形。所有可能的 $m$ 的值之和是多少？

A triangle has vertices $(0, 0),$ $(1, 1),$ and $(6m, 0),$ and the line $y = mx$ divides the triangle into two triangles of equal area. What is the sum of all possible values of $m?$

$-\dfrac{1}{3}$

$-\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

答案：B

知识点：坐标几何中线（几何）韦达定理

难度评级：1820

解答：

直线 $y = mx$ 经过顶点 $(0, 0)$ ，因此它恰好在经过对边中点时平分三角形面积。对边连接 $(1, 1)$ 与 $(6m, 0)$ 。其中点为 $\left(\dfrac{6m + 1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$ 。

要求该点满足 $y = mx$ ，得到所以 $6m^2 + m - 1 = 0$ ，即 $(3m - 1)(2m + 1) = 0$ 。 $\frac{1}{2} = m\cdot\frac{6m + 1}{2},$

可能的值是 $m = \dfrac{1}{3}$ 和 $m = -\dfrac{1}{2}$ ，它们的和为 $-\dfrac{1}{6}$ 。

因此，正确答案是 B。

The line $y = mx$ passes through the vertex $(0, 0),$ so it bisects the triangle's area exactly when it passes through the midpoint of the opposite side, joining $(1, 1)$ and $(6m, 0).$ That midpoint is $\left(\dfrac{6m + 1}{2}, \dfrac{1}{2}\right).$

Requiring it to satisfy $y = mx$ gives $\frac{1}{2} = m\cdot\frac{6m + 1}{2},$ so $6m^2 + m - 1 = 0,$ that is $(3m - 1)(2m + 1) = 0.$

The possible values are $m = \dfrac{1}{3}$ and $m = -\dfrac{1}{2},$ whose sum is $-\dfrac{1}{6}.$

Thus, the correct answer is B.

2009 AMC 12A 第 14 题

答案：B

难度评级：1820

解答：

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