2009 AMC 12A 第 14 题

Question

一个三角形的顶点是

(0, 0)

，

(1, 1)

，和

(6m, 0)

，直线

y = mx

把该三角形分成两个面积相等的三角形。所有可能的

m

的值之和是多少？

A triangle has vertices

(0, 0),

(1, 1),

and

(6m, 0),

and the line

y = mx

divides the triangle into two triangles of equal area. What is the sum of all possible values of

m?

-\dfrac{1}{3}

-\dfrac{1}{6}

\dfrac{1}{6}

\dfrac{1}{3}

\dfrac{1}{2}

答案：B

知识点：坐标几何中线（几何）韦达定理

难度评级：1820

小提示：

这条线经过顶点

(0, 0)

，所以若要平分面积，它必须经过对边的中点。

The line passes through the vertex

(0, 0),

so to bisect the area it must hit the midpoint of the opposite side

大提示：

令从

(1, 1)

到

(6m, 0)

的线段中点在直线

y = mx

上。

Set the midpoint of the segment from

(1, 1)

to

(6m, 0)

on the line

y = mx

解答：

直线

y = mx

经过顶点

(0, 0)

，因此它恰好在经过对边中点时平分三角形面积。对边连接

(1, 1)

与

(6m, 0)

。其中点为

\left(\dfrac{6m + 1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)

。

要求该点满足

y = mx

，得到

\frac{1}{2} = m\cdot\frac{6m + 1}{2}\text{，}

所以

6m^2 + m - 1 = 0

，即

(3m - 1)(2m + 1) = 0

。

可能的值是

m = \dfrac{1}{3}

和

m = -\dfrac{1}{2}

，它们的和为

-\dfrac{1}{6}

。

因此，正确答案是 B。

The line

y = mx

passes through the vertex

(0, 0),

so it bisects the triangle’s area exactly when it passes through the midpoint of the opposite side, joining

(1, 1)

and

(6m, 0).

That midpoint is

\left(\dfrac{6m + 1}{2}, \dfrac{1}{2}\right).

Requiring it to satisfy

y = mx

gives

\frac{1}{2} = m\cdot\frac{6m + 1}{2},

so

6m^2 + m - 1 = 0,

that is

(3m - 1)(2m + 1) = 0.

The possible values are

m = \dfrac{1}{3}

and

m = -\dfrac{1}{2},

whose sum is

-\dfrac{1}{6}.

Thus, the correct answer is B.

2009 AMC 12A 第 14 题

答案：B

难度评级：1820

小提示：

大提示：

解答：

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