2008 AMC 12B 第 14 题

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14.

一个圆的半径为

\log_{10}(a^2)

，周长为

\log_{10}(b^4)

。

\log_a b

等于多少？

A circle has a radius of

\log_{10}(a^2)

and a circumference of

\log_{10}(b^4).

What is

\log_a b?

\dfrac{1}{4\pi}

\dfrac{1}{\pi}

\pi

2\pi

10^{2\pi}

答案：C

知识点：对数圆周长

难度评级：1630

小提示：

周长等于半径的

2\pi

倍。

Circumference equals

2\pi

times the radius

大提示：

使用

\log_{10}(a^2) = 2\log_{10} a

和

\log_{10}(b^4) = 4\log_{10} b

，再组成

\dfrac{\log_{10} b}{\log_{10} a}

。

Use

\log_{10}(a^2) = 2\log_{10} a

and

\log_{10}(b^4) = 4\log_{10} b,

then form

\dfrac{\log_{10} b}{\log_{10} a}

解答：

周长是半径的

2\pi

倍，所以

\log_{10}(b^4) = 2\pi \log_{10}(a^2)\text{。}

改写得

4\log_{10} b = 4\pi \log_{10} a

，因此

\log_{10} b = \pi \log_{10} a

。

所以

\log_a b = \dfrac{\log_{10} b}{\log_{10} a} = \pi

。

因此，正确答案是 C。

The circumference is

2\pi

times the radius, so

\log_{10}(b^4) = 2\pi \log_{10}(a^2).

Rewriting,

4\log_{10} b = 4\pi \log_{10} a,

hence

\log_{10} b = \pi \log_{10} a.

Therefore

\log_a b = \dfrac{\log_{10} b}{\log_{10} a} = \pi.

Thus, the correct answer is C.

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