2005 AMC 12A 第 16 题

Question

三个半径为

s

的圆位于

xy

平面第一象限。第一个圆与两条坐标轴都相切，第二个圆与第一个圆和

x

-轴相切，第三个圆与第一个圆和

y

-轴相切。另有一个半径为

r \gt s

的圆，它与两条坐标轴以及第二、第三个圆相切。求

\frac{r}{s}

。

Three circles of radius

s

are drawn in the first quadrant of the

xy

-plane. The first circle is tangent to both axes, the second is tangent to the first circle and the

x

-axis, and the third is tangent to the first circle and the

y

-axis. A circle of radius

r \gt s

is tangent to both axes and to the second and third circles. What is

\frac{r}{s}?

5

6

8

9

10

答案：D

知识点：相切圆坐标几何勾股定理

难度评级：2000

小提示：

按各圆的半径定出圆心：大圆圆心为

(r, r)

，第二个小圆圆心为

(3s, s)

。

Place the centers by their radii: the big circle is at

(r, r)

and the second small circle at

(3s, s)

大提示：

两个外切圆的圆心距为

r + s

；再对圆心之间的水平、竖直距离使用勾股定理。

The distance between the big center and a tangent small center equals

r + s;

apply the Pythagorean theorem to the horizontal and vertical gaps

解答：

大圆圆心为

(r, r)

，第二个小圆圆心为

(3s, s)

。两圆外切，所以圆心距为

r + s

。

两个圆心之间的水平距离为

r - 3s

，竖直距离为

r - s

，因此

(r + s)^2 = (r - 3s)^2 + (r - s)^2\text{。}

展开并整理得

0 = r^2 - 10rs + 9s^2

= (r - 9s)(r - s)

。因为

r \ne s

，所以

r = 9s

，故

\frac{r}{s} = 9

。

所以正确答案是 D。

Put the big circle’s center at

(r, r)

and the second small circle’s center at

(3s, s).

They are externally tangent, so the distance between centers is

r + s.

The horizontal and vertical gaps are

r - 3s

and

r - s,

so

(r + s)^2 = (r - 3s)^2 + (r - s)^2.

Expanding gives

0 = r^2 - 10rs + 9s^2

= (r - 9s)(r - s).

Since

r \ne s,

we get

r = 9s,

so

\frac{r}{s} = 9.

Thus, the correct answer is D.

2005 AMC 12A 第 16 题

答案：D

难度评级：2000

小提示：

大提示：

解答：

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