Question

圆 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 两两外切，并且都内切于圆 $D$ 。圆 $B$ 和 $C$ 全等。圆 $A$ 的半径为 $1$ ，并且经过圆 $D$ 的圆心。圆 $B$ 的半径是多少？

Circles $A,$ $B,$ and $C$ are externally tangent to each other and internally tangent to circle $D.$ Circles $B$ and $C$ are congruent. Circle $A$ has radius $1$ and passes through the center of $D.$ What is the radius of circle $B?$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{7}{8}$

$\dfrac{8}{9}$

$\dfrac{1 + \sqrt{3}}{3}$

答案：D

知识点：相切圆勾股定理方程组

难度评级：1920

解答：

圆 $A$ 半径为 $1$ ，经过圆 $D$ 的圆心并与圆 $D$ 内切，所以圆 $D$ 的半径为 $2$ 。

将圆 $D$ 的圆心放在原点，圆 $A$ 的圆心在 $(-1, 0)$ 。由对称性， $B$ 的圆心为 $(x, y)$ ，半径为 $r$ 而 $C$ 是它关于水平轴的镜像，所以两圆在该轴上相切，且 $y = r$ 。

与圆 $D$ 内切给出 $x^2 + y^2 = (2 - r)^2$ ，与圆 $A$ 外切给出 $(x + 1)^2 + y^2 = (1 + r)^2$ 。

两式相减并使用 $y = r$ 得到 $x = \tfrac23$ 且 $r = \tfrac89$ 。因此圆 $B$ 的半径是 $\tfrac89$ 。

所以正确答案是 D。

Circle $A$ has radius $1$ and passes through the center of $D$ while being internally tangent to $D,$ so $D$ has radius $2.$

Place the center of $D$ at the origin, with $A$ centered at $(-1, 0).$ By symmetry, $B$ has center $(x, y)$ and radius $r,$ with $C$ its mirror image across the horizontal axis, so the two congruent circles touch on that axis and $y = r.$

Internal tangency to $D$ gives $x^2 + y^2 = (2 - r)^2,$ and external tangency to $A$ gives $(x + 1)^2 + y^2 = (1 + r)^2.$

Subtracting and using $y = r$ yields $x = \tfrac23$ and $r = \tfrac89.$ The radius of circle $B$ is $\tfrac89.$

Thus, the correct answer is D.

2004 AMC 12A 第 19 题

答案：D

难度评级：1920

解答：

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