Question

对所有实数 $x$ 和 $y$ ，定义 $x\heartsuit y$ 为 $|x - y|$ 。下列哪一个命题不正确？

Define $x\heartsuit y$ to be $|x - y|$ for all real numbers $x$ and $y.$ Which of the following statements is not true?

对所有 $x$ 和 $y$ ， $x\heartsuit y = y\heartsuit x$

$x\heartsuit y = y\heartsuit x$ for all $x$ and $y$

对所有 $x$ 和 $y$ ， $2(x\heartsuit y) = (2x)\heartsuit(2y)$

$2(x\heartsuit y) = (2x)\heartsuit(2y)$ for all $x$ and $y$

对所有 $x$ ， $x\heartsuit 0 = x$

$x\heartsuit 0 = x$ for all $x$

对所有 $x$ ， $x\heartsuit x = 0$

$x\heartsuit x = 0$ for all $x$

若 $x \neq y$ 则 $x\heartsuit y \gt 0$

$x\heartsuit y \gt 0$ if $x \neq y$

因为 $x\heartsuit 0=|x-0|=|x|$ ，选项 C 断言对所有 $x$ 都有 $|x|=x$ ，但当 $x\lt0$ 时并不成立。例如， $(-1)\heartsuit 0 = 1 \neq -1$ 。

其他命题都直接来自绝对值的性质。

所以正确答案是 C。

Since $x\heartsuit 0=|x-0|=|x|,$ statement (C) claims $|x|=x$ for all $x,$ which fails when $x\lt0.$ For example, $(-1)\heartsuit 0 = 1 \neq -1.$

Every other statement follows directly from properties of the absolute value.

Thus, the correct answer is C.