2003 AMC 12A 第 6 题

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6.

对所有实数

x

和

y

，定义

x\heartsuit y

为

|x - y|

。下列哪一个命题不正确？

Define

x\heartsuit y

to be

|x - y|

for all real numbers

x

and

y.

Which of the following statements is not true?

对所有

x

和

y

，

x\heartsuit y = y\heartsuit x

x\heartsuit y = y\heartsuit x

for all

x

and

y

对所有

x

和

y

，

2(x\heartsuit y) = (2x)\heartsuit(2y)

2(x\heartsuit y) = (2x)\heartsuit(2y)

for all

x

and

y

对所有

x

，

x\heartsuit 0 = x

x\heartsuit 0 = x

for all

x

对所有

x

，

x\heartsuit x = 0

x\heartsuit x = 0

for all

x

若

x \neq y

则

x\heartsuit y \gt 0

x\heartsuit y \gt 0

if

x \neq y

答案：C

知识点：绝对值反例

难度评级：1200

小提示：

x\heartsuit 0=|x|

。

x\heartsuit 0=|x|

大提示：

试一个负的

x

。

Test a negative value of

x

解答：

因为

x\heartsuit 0=|x-0|=|x|

，选项 C 断言对所有

x

都有

|x|=x

，但当

x\lt0

时并不成立。例如，

(-1)\heartsuit 0 = 1 \neq -1

。

其他命题都直接来自绝对值的性质。

所以正确答案是 C。

Since

x\heartsuit 0=|x-0|=|x|,

statement (C) claims

|x|=x

for all

x,

which fails when

x\lt0.

For example,

(-1)\heartsuit 0 = 1 \neq -1.

Every other statement follows directly from properties of the absolute value.

Thus, the correct answer is C.

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