2002 AMC 12B 第 22 题

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22.

对所有大于

1

的整数

n

，定义

a_n=\dfrac{1}{\log_n 2002}\text{。}

设

b=a_2+a_3+a_4+a_5

，且

c=a_{10}+a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}

，则

b-c

等于

For all integers

n

greater than

1,

define

a_n=\dfrac{1}{\log_n 2002}.

Let

b=a_2+a_3+a_4+a_5

and

c=a_{10}+a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}.

Then

b-c

equals

-2

-1

\dfrac{1}{2002}

\dfrac{1}{1001}

\dfrac{1}{2}

答案：B

知识点：对数

难度评级：1630

小提示：

\dfrac{1}{\log_n 2002}=\log_{2002} n

。

\dfrac{1}{\log_n 2002}=\log_{2002} n

大提示：

因此

b-c

=\log_{2002}\dfrac{2\cdot3\cdot4\cdot5}{10\cdot11\cdot12\cdot13\cdot14}

；化简这个分数。

Then

b-c

=\log_{2002}\dfrac{2\cdot3\cdot4\cdot5}{10\cdot11\cdot12\cdot13\cdot14}

; simplify the fraction

解答：

由换底公式，

a_n=\dfrac{1}{\log_n 2002}=\log_{2002} n

。

\begin{gathered} b-c \\ {}=\log_{2002}\frac{2\cdot3\cdot4\cdot5}{10\cdot11\cdot12\cdot13\cdot14} \end{gathered}\text{。}

该分数等于

\dfrac{120}{240240}=\dfrac{1}{2002}

，因此

b-c=\log_{2002}\dfrac{1}{2002}=-1

。

所以正确答案是 B。

By change of base,

a_n=\dfrac{1}{\log_n 2002}=\log_{2002} n.

So

\begin{gathered} b-c \\ {}=\log_{2002}\frac{2\cdot3\cdot4\cdot5}{10\cdot11\cdot12\cdot13\cdot14}. \end{gathered}

The fraction equals

\dfrac{120}{240240}=\dfrac{1}{2002},

so

b-c=\log_{2002}\dfrac{1}{2002}=-1.

Thus, the correct answer is B.

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