2000 AMC 12 第 19 题

Question

在三角形

ABC

中，

AB = 13

、

BC = 14

、

AC = 15

。设

D

为

\overline{BC}

的中点，

E

为角

BAC

的角平分线与

\overline{BC}

的交点。下列哪一个数最接近三角形

ADE

的面积？

In triangle

ABC,

AB = 13,

BC = 14,

and

AC = 15.

Let

D

denote the midpoint of

\overline{BC}

and let

E

denote the intersection of

\overline{BC}

with the bisector of angle

BAC.

Which of the following is closest to the area of triangle

ADE?

2

2.5

3

3.5

4

答案：C

知识点：海伦公式角平分线定理三角形面积

难度评级：1810

小提示：

由海伦公式，

\triangle ABC

的面积为

84

，所以从

A

到

BC

的高为

12

。

By Heron’s formula the area of

\triangle ABC

is

84,

so the altitude from

A

to

BC

is

12

大提示：

D

距

B

的距离为

7

；角平分线交点

E

满足

BE : EC = 13 : 15

。

D

is at distance

7

from

B

; the bisector foot

E

satisfies

BE : EC = 13 : 15

解答：

由海伦公式，

\triangle ABC

的面积为

\sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84

，所以从

A

到

BC

的高为

\dfrac{2 \cdot 84}{14} = 12

。

中点

D

到

B

的距离为

7

。从

A

作出的角平分线与

BC

相交于

E

，且

BE : EC = AB : AC = 13 : 15

，所以

BE = 14 \cdot \dfrac{13}{28} = 6.5

。

D

和

E

都在

BC

上，所以

\triangle ADE

的底为

DE = 7 - 6.5 = 0.5

，高为

12

，面积为

\tfrac12 \cdot 0.5 \cdot 12 = 3\text{。}

因此，正确答案是 C。

By Heron’s formula, the area of

\triangle ABC

is

\sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84,

so the altitude from

A

to

BC

is

\dfrac{2 \cdot 84}{14} = 12.

The midpoint

D

is

7

from

B.

The bisector from

A

meets

BC

at

E

with

BE : EC = AB : AC = 13 : 15,

so

BE = 14 \cdot \dfrac{13}{28} = 6.5.

Both

D

and

E

lie on

BC,

so

\triangle ADE

has base

DE = 7 - 6.5 = 0.5

and altitude

12,

giving area

\tfrac12 \cdot 0.5 \cdot 12 = 3.

Thus, the correct answer is C.

2000 AMC 12 第 19 题

答案：C

难度评级：1810

小提示：

大提示：

解答：

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