Question

当列表 $10, 2, 5, 2, 4, 2, x$

的平均数、中位数和众数按递增顺序排列后，它们形成一个非常数等差数列。所有可能的实数 $x$ 的和是多少？

When the mean, median, and mode of the list $10, 2, 5, 2, 4, 2, x$

are arranged in increasing order, they form a non-constant arithmetic progression. What is the sum of all possible real values of $x?$

$3$

$6$

$9$

$17$

$20$

答案：E

知识点：平均数中位数（数据）众数分类讨论

难度评级：1840

解答：

六个固定数的和为 $25$ ，所以平均数是 $\dfrac{25 + x}{7}$ ，众数是 $2$ 。若 $x \le 2$ ，则 $2$ 同时是中位数和众数，会迫使等差数列为常数，所以 $x \gt 2$ 。

情形 $2 \lt x \lt 4$ ： 中位数为 $x$ 。要求 $2, x, \dfrac{25 + x}{7}$ 构成等差数列，得到此范围内唯一的值 $x = 3$ 。

情形 $x \ge 4$ ： 中位数为 $4$ ，等差数列 $2, 4, 6$ 迫使平均数为 $6$ ，所以 $\dfrac{25 + x}{7} = 6$ ，得 $x = 17$ 。

所有可能值的和为 $3 + 17 = 20$ 。

因此，正确答案是 E。

The six fixed numbers sum to $25,$ so the mean is $\dfrac{25 + x}{7},$ and the mode is $2.$ If $x \le 2,$ then $2$ is both median and mode, forcing a constant progression, so $x \gt 2.$

Case $2 \lt x \lt 4$ : the median is $x.$ Requiring $2, x, \dfrac{25 + x}{7}$ to form an arithmetic progression yields $x = 3$ as the only value in this range.

Case $x \ge 4$ : the median is $4,$ and the progression $2, 4, 6$ forces the mean to be $6,$ so $\dfrac{25 + x}{7} = 6,$ giving $x = 17.$

The sum of all possible values is $3 + 17 = 20.$

Thus, the correct answer is E.

2000 AMC 12 第 14 题

答案：E

难度评级：1840

解答：

其他年份的第 14 题