2000 AMC 12 第 14 题

Question

当列表

10, 2, 5, 2, 4, 2, x

的平均数、中位数和众数按递增顺序排列后，它们形成一个非常数等差数列。所有可能的实数

x

的和是多少？

When the mean, median, and mode of the list

10, 2, 5, 2, 4, 2, x

are arranged in increasing order, they form a non-constant arithmetic progression. What is the sum of all possible real values of

x?

3

6

9

17

20

答案：E

知识点：平均数中位数（数据）众数分类讨论

难度评级：1840

小提示：

众数是

2

，平均数是

\dfrac{25 + x}{7}

。

The mode is

2,

and the mean is

\dfrac{25 + x}{7}

大提示：

按

x

相对于其他数的位置分情况，并要求等差数列非常数。

Split into cases by where

x

falls relative to the other numbers, and require a non-constant progression

解答：

六个固定数的和为

25

，所以平均数是

\dfrac{25 + x}{7}

，众数是

2

。若

x \le 2

，则

2

同时是中位数和众数，会迫使等差数列为常数，所以

x \gt 2

。

情形 $2 \lt x \lt 4$ ： 中位数为

x

。要求

2, x, \dfrac{25 + x}{7}

构成等差数列，得到此范围内唯一的值

x = 3

。

情形 $x \ge 4$ ： 中位数为

4

，等差数列

2, 4, 6

迫使平均数为

6

，所以

\dfrac{25 + x}{7} = 6

，得

x = 17

。

所有可能值的和为

3 + 17 = 20

。

因此，正确答案是 E。

The six fixed numbers sum to

25,

so the mean is

\dfrac{25 + x}{7},

and the mode is

2.

If

x \le 2,

then

2

is both median and mode, forcing a constant progression, so

x \gt 2.

Case $2 \lt x \lt 4$ : the median is

x.

Requiring

2, x, \dfrac{25 + x}{7}

to form an arithmetic progression yields

x = 3

as the only value in this range.

Case $x \ge 4$ : the median is

4,

and the progression

2, 4, 6

forces the mean to be

6,

so

\dfrac{25 + x}{7} = 6,

giving

x = 17.

The sum of all possible values is

3 + 17 = 20.

Thus, the correct answer is E.

2000 AMC 12 第 14 题

答案：E

难度评级：1840

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 14 题