1999 AMC 12 第 14 题

Question

Mary、Alina、Tina 和 Hanna 四个女孩在音乐会上以三人组合唱歌，每首歌有一个女孩不唱。Hanna 唱了

7

首，比任何其他女孩都多；Mary 唱了

4

首，比任何其他女孩都少。这些三人组合一共唱了多少首歌？

Four girls — Mary, Alina, Tina, and Hanna — sang songs in a concert as trios, with one girl sitting out each time. Hanna sang

7

songs, which was more than any other girl, and Mary sang

4

songs, which was fewer than any other girl. How many songs did these trios sing?

7

8

9

10

11

答案：A

知识点：整除性双重计数极限情形界定

难度评级：1610

小提示：

每首歌有

3

人唱，所以总演唱人次为

3N

。

Each song has

3

singers, so the total number of girl-appearances is

3N

大提示：

Alina 和 Tina 各唱

5

或

6

首，总人次必须是

3

的倍数。

Alina and Tina each sang

5

or

6,

and the total must be a multiple of

3

解答：

若共唱

N

首歌，则总演唱人次为

3N

。Alina 和 Tina 的演唱次数都严格介于

4

和

7

之间，所以各为

5

或

6

。

因此

3N = 7 + 4 + (\text{Alina}) + (\text{Tina})

，可能为

21, 22

，或

23

。只有

21

是

3

的倍数，所以

N = 7

。

所以正确答案是 A。

If

N

songs are sung, the total number of girl-appearances is

3N.

Alina and Tina each sang strictly between

4

and

7,

so each sang

5

or

6.

Then

3N = 7 + 4 + (\text{Alina}) + (\text{Tina}),

which is

21, 22,

or

23.

Only

21

is a multiple of

3,

so

N = 7.

Thus, the correct answer is A.

1999 AMC 12 第 14 题

答案：A

难度评级：1610

小提示：

大提示：

解答：

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