1997 AMC 12 第 8 题

Question

Mientka 出版公司为其畅销书 《沃尔特在哪里？》 制定了如下价格：

C(n)= \begin{cases} 12n, & 1\le n\le24,\\ 11n, & 25\le n\le48,\\ 10n, & 49\le n \end{cases}\text{，}

其中

n

是订购的书本数，

C(n)

是订购

n

本书所需的美元数。注意，买

25

本书比买

24

本书便宜。对于多少个

n

的取值，购买多于

n

本书会比恰好购买

n

本书便宜？

Mientka Publishing Company prices its best seller Where’s Walter? as follows:

C(n)= \begin{cases} 12n, & 1\le n\le24,\\ 11n, & 25\le n\le48,\\ 10n, & 49\le n, \end{cases}

where

n

is the number of books ordered, and

C(n)

is the cost in dollars of

n

books. Notice that

25

books cost less than

24

books. For how many values of

n

is it cheaper to buy more than

n

books than to buy exactly

n

books?

3

4

5

6

8

答案：D

知识点：piecewise functions inequalities

难度评级：1360

小提示：

只有两个价格分界点可能使订购更多书反而更便宜

Only the two price-break points can make a larger order cheaper

大提示：

在第一个分界点附近比较

C(n)

与

C(25)

，再在第二个分界点附近与

C(49)

比较

Compare

C(n)

with

C(25)

near the first break and with

C(49)

near the second

解答：

在第一个分界点，

C(25)=275

小于

C(23)=276

和

C(24)=288

，所以

n=23

和

n=24

符合条件。在第二个分界点，当

n=45

、

n=46

、

n=47

、

n=48

时，

C(49)=490

小于

C(n)=11n

。每一段的价格都随

n

增加，因此没有其他取值符合条件。共有

2+4=6

个，故正确答案是 D。

At the first break,

C(25)=275

is below

C(23)=276

and

C(24)=288,

giving

n=23

and

n=24.

At the second,

C(49)=490

is below

C(n)=11n

for

n=45,

n=46,

n=47,

n=48.

No other

n

works because each piece increases. There are

2+4=6,

so D is correct.

1997 AMC 12 第 8 题

答案：D

难度评级：1360

小提示：

大提示：

解答：

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