Question

Los enteros $a,\ b,$ y $c$ satisfacen $ab+c=100,$ $bc+a=87,$ y $ca+b=60.$ ¿Cuánto vale $ab+bc+ca$ ?

Integers $a,\ b,$ and $c$ satisfy $ab+c=100,$ $bc+a=87,$ and $ca+b=60.$ What is $ab+bc+ca?$

$212$

$247$

$258$

$276$

$284$

Respuesta: D

Conceptos:sistema de ecuaciones factorización análisis por casos

Nivel de dificultad: 1890

Solución:

Al restar la segunda ecuación de la primera se obtiene $(a-c)(b-1)=13.$ Por tanto, $\begin{gathered} (a-c,b-1)\in\{(1,13),(13,1),\\ (-1,-13),(-13,-1)\}. \end{gathered}$ Los valores correspondientes de $b$ son $14,2,-12,0.$ Al sustituir $a=c+(a-c)$ en $ab+c=100$ , los dos primeros casos quedan descartados porque exigirían $15c=86$ o $3c=74.$ El caso $b=-12$ da $c=-8$ y $a=-9,$ que satisfacen las tres ecuaciones. El caso $b=0$ da $(a,c)=(87,100),$ que no satisface $ca+b=60.$ Así, la única solución entera es $(-9,-12,-8),$ y $ab+bc+ca$ $=108+96+72=276.$ Por tanto, D es la respuesta correcta.

Subtracting the second equation from the first gives $(a-c)(b-1)=13.$ Hence $\begin{gathered} (a-c,b-1)\in\{(1,13),(13,1),\\ (-1,-13),(-13,-1)\}. \end{gathered}$ The corresponding values of $b$ are $14,2,-12,0.$ Substituting $a=c+(a-c)$ into $ab+c=100$ eliminates the first two cases because they would require $15c=86$ or $3c=74.$ The case $b=-12$ gives $c=-8$ and $a=-9,$ which satisfies all three equations. The case $b=0$ gives $(a,c)=(87,100),$ which fails $ca+b=60.$ Thus the unique integer solution is $(-9,-12,-8),$ and $ab+bc+ca$ $=108+96+72=276.$ Thus, the correct answer is D.

2024 AMC 12A Problema 17

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1890

Solución:

El Problema 17 en otros años