2024 AMC 12A Problema 17

Question

Los enteros

a,

b,

y

c

satisfacen

ab+c=100,

bc+a=87,

y

ca+b=60.

¿Cuánto vale

ab+bc+ca

?

Integers

a,

b,

and

c

satisfy

ab+c=100,

bc+a=87,

and

ca+b=60.

What is

ab+bc+ca?

212

247

258

276

284

Respuesta: D

Conceptos:sistema de ecuaciones factorización análisis por casos

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Resta las ecuaciones por pares, por ejemplo

(ab+c)-(bc+a)

se factoriza como

(a-c)(b-1)=13

Subtract equations in pairs, e.g.

(ab+c)-(bc+a)

factors as

(a-c)(b-1)=13

Pista grande:

13

es primo, así que

(a-c,\ b-1)

tiene pocas opciones; pruébalas para soluciones enteras

13

is prime, so

(a-c,\ b-1)

has few options; test them for integer solutions

Solución:

Al restar la segunda ecuación de la primera se obtiene

(a-c)(b-1)=13.

Por tanto,

\begin{gathered} (a-c,b-1)\in\{(1,13),(13,1),\\ (-1,-13),(-13,-1)\}. \end{gathered}

Los valores correspondientes de

b

son

14,2,-12,0.

Al sustituir

a=c+(a-c)

en

ab+c=100

, los dos primeros casos quedan descartados porque exigirían

15c=86

o

3c=74.

El caso

b=-12

da

c=-8

y

a=-9,

que satisfacen las tres ecuaciones. El caso

b=0

da

(a,c)=(87,100),

que no satisface

ca+b=60.

Así, la única solución entera es

(-9,-12,-8),

y

ab+bc+ca

=108+96+72=276.

Por tanto, D es la respuesta correcta.

Subtracting the second equation from the first gives

(a-c)(b-1)=13.

Hence

\begin{gathered} (a-c,b-1)\in\{(1,13),(13,1),\\ (-1,-13),(-13,-1)\}. \end{gathered}

The corresponding values of

b

are

14,2,-12,0.

Substituting

a=c+(a-c)

into

ab+c=100

eliminates the first two cases because they would require

15c=86

or

3c=74.

The case

b=-12

gives

c=-8

and

a=-9,

which satisfies all three equations. The case

b=0

gives

(a,c)=(87,100),

which fails

ca+b=60.

Thus the unique integer solution is

(-9,-12,-8),

and

ab+bc+ca

=108+96+72=276.

Thus, the correct answer is D.