2021 AMC 12A Fall Problema 17

Question

¿Para cuántos pares ordenados

(b, c)

de enteros positivos ni

x^2 + bx + c = 0

ni

x^2 + cx + b = 0

tienen dos soluciones reales distintas?

For how many ordered pairs

(b, c)

of positive integers does neither

x^2 + bx + c = 0

nor

x^2 + cx + b = 0

have two distinct real solutions?

4

6

8

12

16

Respuesta: B

Conceptos:cuadrática desigualdad

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

“Sin dos soluciones reales distintas” significa que cada discriminante es

\le 0:

b^2 \le 4c

y

c^2 \le 4b

.

“No two distinct real solutions” means each discriminant is

\le 0:

b^2 \le 4c

and

c^2 \le 4b

Pista grande:

Multiplicando da

b^2c^2 \le 16bc,

así que

bc \le 16;

prueba enteros positivos pequeños

Multiplying gives

b^2c^2 \le 16bc,

so

bc \le 16;

test small positive integers

Solución:

Ninguna cuadrática tiene dos raíces reales distintas exactamente cuando ambos discriminantes son no positivos:

b^2 \le 4c

y

c^2 \le 4b.

Al combinar

c\ge \frac{b^2}{4}

con

c\le2\sqrt b

, obtenemos

b^{\frac{3}{2}}\le8,

así que

b\le4.

Comprobando:

b = 1

da

c \in \{1,2\};

b = 2

da

c \in \{1,2\};

b = 3

da

c = 3;

y

b = 4

da

c = 4.

Estos son

(1,1),

(1,2),

(2,1),

(2,2),

(3,3),

(4,4)

:

6

pares ordenados.

Por tanto, la respuesta correcta es B.

Neither quadratic has two distinct real roots exactly when both discriminants are nonpositive:

b^2 \le 4c

and

c^2 \le 4b.

Combining

c\ge \frac{b^2}{4}

with

c\le2\sqrt b

gives

b^{\frac{3}{2}}\le8,

so

b\le4.

Checking:

b = 1

gives

c \in \{1,2\};

b = 2

gives

c \in \{1,2\};

b = 3

gives

c = 3;

and

b = 4

gives

c = 4.

That is

(1,1),

(1,2),

(2,1),

(2,2),

(3,3),

(4,4)

—

6

ordered pairs.

Thus, the correct answer is B.

2021 AMC 12A Fall Problema 17

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años