2021 AMC 12A Spring Problema 17

Question

El trapecio

ABCD

cumple

AB \parallel CD,

BC = CD = 43,

y

AD \perp BD.

Sea

O

la intersección de las diagonales

AC

y

BD,

y sea

P

el punto medio de

BD.

Dado que

OP = 11,

la longitud

AD

se puede escribir en la forma

m\sqrt n,

donde

m

y

n

son enteros positivos y

n

no es divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale

m + n

?

Trapezoid

ABCD

has

AB \parallel CD,

BC = CD = 43,

and

AD \perp BD.

Let

O

be the intersection of the diagonals

AC

and

BD,

and let

P

be the midpoint of

BD.

Given that

OP = 11,

the length

AD

can be written in the form

m\sqrt n,

where

m

and

n

are positive integers and

n

is not divisible by the square of any prime. What is

m + n?

65

132

157

194

215

Respuesta: D

Conceptos:geometría analítica trapecio semejanza

Nivel de dificultad: 2080

Pista pequeña:

Coloca

D

en el origen con

BD

sobre un eje y

AD

sobre el otro, ya que

AD \perp BD

.

Place

D

at the origin with

BD

along one axis and

AD

along the other, since

AD \perp BD

Pista grande:

Usar

BC = CD

obliga a que

C

sea el punto de tipo punto medio con parámetro

\tfrac12;

entonces

O

divide

BD

de modo que

OP = \tfrac{BD}{6}

.

Using

BC = CD

forces

C

to be the midpoint-type point with parameter

\tfrac12;

then

O

divides

BD

so that

OP = \tfrac{BD}{6}

Solución:

Coloca

D = (0,0)

con

B = (b, 0)

sobre un eje y

A = (0, a)

sobre el otro, de modo que

AD \perp BD.

Como

CD \parallel AB,

escribe

C = t(b, -a)

para algún

t.

Entonces

CD = t\sqrt{a^2+b^2}

y

BC^2 = b^2(1-t)^2 + t^2a^2.

Igualar

BC = CD

da

t^2 = (1-t)^2,

así que

t = \tfrac12.

Así

C = \left(\tfrac{b}{2}, -\tfrac{a}{2}\right),

y

CD = 43

da

a^2 + b^2 = 4\cdot 43^2 = 7396.

La diagonal

AC

corta a

BD

(el eje

x

) en

O = \left(\tfrac{b}{3}, 0\right),

mientras que

P = \left(\tfrac{b}{2}, 0\right).

Por lo tanto

OP = \tfrac{b}{6} = 11,

así que

b = 66.

Entonces

a^2 = 7396 - 66^2 = 3040,

así que

AD = a = \sqrt{3040} = 4\sqrt{190}.

Con

m = 4

y

n = 190,

obtenemos

m + n = 194.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Place

D = (0,0)

with

B = (b, 0)

on one axis and

A = (0, a)

on the other, so that

AD \perp BD.

Since

CD \parallel AB,

write

C = t(b, -a)

for some

t.

Then

CD = t\sqrt{a^2+b^2}

and

BC^2 = b^2(1-t)^2 + t^2a^2.

Setting

BC = CD

gives

t^2 = (1-t)^2,

so

t = \tfrac12.

Thus

C = \left(\tfrac{b}{2}, -\tfrac{a}{2}\right),

and

CD = 43

gives

a^2 + b^2 = 4\cdot 43^2 = 7396.

The diagonal

AC

meets

BD

(the

x

-axis) at

O = \left(\tfrac{b}{3}, 0\right),

while

P = \left(\tfrac{b}{2}, 0\right).

Hence

OP = \tfrac{b}{6} = 11,

so

b = 66.

Then

a^2 = 7396 - 66^2 = 3040,

so

AD = a = \sqrt{3040} = 4\sqrt{190}.

With

m = 4

and

n = 190,

we get

m + n = 194.

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12A Spring Problema 17

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2080

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años