2020 AMC 12A Problema 17

Question

Los vértices de un cuadrilátero están en la gráfica de

y = \ln x,

y las coordenadas

x

de estos vértices son enteros positivos consecutivos. El área del cuadrilátero es

\ln\dfrac{91}{90}.

¿Cuál es la coordenada

x

del vértice más a la izquierda?

The vertices of a quadrilateral lie on the graph of

y = \ln x,

and the

x

-coordinates of these vertices are consecutive positive integers. The area of the quadrilateral is

\ln\dfrac{91}{90}.

What is the

x

-coordinate of the leftmost vertex?

6

7

10

12

13

Respuesta: D

Conceptos:fórmula del cordón logaritmo cuadrática

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Sean las coordenadas

x

iguales a

n, n+1, n+2, n+3

y aplica la fórmula del cordón de zapato

Let the

x

-coordinates be

n, n+1, n+2, n+3

and apply the shoelace formula

Pista grande:

El área se simplifica a

\ln\dfrac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)};

iguálala a

\ln\dfrac{91}{90}

.

The area simplifies to

\ln\dfrac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)};

set it equal to

\ln\dfrac{91}{90}

Solución:

Sean los vértices con coordenadas

x

iguales a

n, n+1, n+2, n+3

y coordenadas

y

iguales a

\ln

de esos valores. Aplicando la fórmula del cordón de zapato y simplificando, el área es

\ln\dfrac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)}.

Haciendo

\dfrac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)} = \dfrac{91}{90}

se obtiene

1 + \dfrac{2}{n^2 + 3n} = \dfrac{91}{90},

así que

n^2 + 3n = 180.

Entonces

(n - 12)(n + 15) = 0,

así que

n = 12.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let the vertices have

x

-coordinates

n, n+1, n+2, n+3

with

y

-coordinates

\ln

of those values. Applying the shoelace formula and simplifying, the area is

\ln\dfrac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)}.

Setting

\dfrac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)} = \dfrac{91}{90}

gives

1 + \dfrac{2}{n^2 + 3n} = \dfrac{91}{90},

so

n^2 + 3n = 180.

Then

(n - 12)(n + 15) = 0,

so

n = 12.

Thus, D is the correct answer.

2020 AMC 12A Problema 17

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años