2019 AMC 12B Problema 9

Question

¿Para cuántos valores enteros de

x

se puede formar un triángulo de área positiva con lados de longitud

\log_2 x,

\log_4 x,

y

3

?

For how many integral values of

x

can a triangle of positive area be formed having side lengths

\log_2 x,

\log_4 x,

and

3?

57

59

61

62

63

Respuesta: B

Conceptos:logaritmo desigualdad triangular conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Sea

t=\log_2 x,

de modo que

\log_4 x=\dfrac{t}{2}

Let

t=\log_2 x,

so

\log_4 x=\dfrac{t}{2}

Pista grande:

Aplica la desigualdad triangular a los lados

t,\ \dfrac{t}{2},\ 3

Apply the triangle inequality to sides

t,\ \dfrac{t}{2},\ 3

Solución:

Sea

t=\log_2 x.

Entonces

\log_4 x=\dfrac{t}{2},

y los lados son

t,\ \dfrac{t}{2},\ 3.

Las desigualdades triangulares dan

t+\dfrac{t}{2}\gt3

(así que

t\gt2

) y

\dfrac{t}{2}+3\gt t

(así que

t\lt6

); la tercera desigualdad es automática.

Por lo tanto

2\lt\log_2 x\lt6,

es decir

4\lt x\lt64.

Los enteros

5,6,\ldots,63

son en total

59.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let

t=\log_2 x.

Then

\log_4 x=\dfrac{t}{2},

and the sides are

t,\ \dfrac{t}{2},\ 3.

The triangle inequalities give

t+\dfrac{t}{2}\gt3

(so

t\gt2

) and

\dfrac{t}{2}+3\gt t

(so

t\lt6

); the third inequality is automatic.

Thus

2\lt\log_2 x\lt6,

i.e.

4\lt x\lt64.

The integers

5,6,\ldots,63

number

59.

Thus, B is the correct answer.