2015 AMC 12B Problema 17

Question

Una moneda injusta cae en cara con probabilidad

\dfrac14.

Al lanzarla

n

veces, la probabilidad de exactamente dos caras es la misma que la probabilidad de exactamente tres caras. ¿Cuál es el valor de

n

?

An unfair coin lands on heads with a probability of

\dfrac14.

When tossed

n

times, the probability of exactly two heads is the same as the probability of exactly three heads. What is the value of

n?

5

8

10

11

13

Iguala

\binom{n}{2}\left(\tfrac14\right)^2\left(\tfrac34\right)^{n-2}

= \binom{n}{3}\left(\tfrac14\right)^3\left(\tfrac34\right)^{n-3}

Set

\binom{n}{2}\left(\tfrac14\right)^2\left(\tfrac34\right)^{n-2}

= \binom{n}{3}\left(\tfrac14\right)^3\left(\tfrac34\right)^{n-3}

Cancela los factores comunes para llegar a

\binom{n}{2}\cdot 3 = \binom{n}{3}

.

Cancel common factors to reach

\binom{n}{2}\cdot 3 = \binom{n}{3}

Igualando las dos probabilidades y cancelando las potencias comunes de

\tfrac14

y

\tfrac34

da

\binom{n}{2}\cdot\dfrac34 = \binom{n}{3}\cdot\dfrac14.

Esto se convierte en

\dfrac{n(n-1)}{2}\cdot 3

= \dfrac{n(n-1)(n-2)}{6},

así que

\dfrac32 = \dfrac{n-2}{6},

dando

n - 2 = 9

y

n = 11.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Setting the two probabilities equal and cancelling the common powers of

\tfrac14

and

\tfrac34

gives

\binom{n}{2}\cdot\dfrac34 = \binom{n}{3}\cdot\dfrac14.

This becomes

\dfrac{n(n-1)}{2}\cdot 3

= \dfrac{n(n-1)(n-2)}{6},

so

\dfrac32 = \dfrac{n-2}{6},

giving

n - 2 = 9

and

n = 11.

Thus, the correct answer is D.

El Problema 17 en otros años