1988 AMC 12 Problema 9

Question

Una mesa de

8'\times10'

está en la esquina de una habitación cuadrada, como en la Figura

1

de abajo. Los dueños desean moverla a la posición de la Figura

2.

El lado de la habitación mide

S

pies. ¿Cuál es el menor valor entero de

S

para el que la mesa puede moverse como se desea sin inclinarla ni desmontarla?

An

8'\times10'

table sits in the corner of a square room, as in Figure

1

below. The owners desire to move the table to the position shown in Figure

2.

The side of the room is

S

feet. What is the smallest integer value of

S

for which the table can be moved as desired without tilting it or taking it apart?

11

12

13

14

15

Durante un cuarto de vuelta, una diagonal queda perpendicular a dos paredes opuestas

During a quarter-turn, a diagonal becomes perpendicular to a pair of opposite walls

Compara el lado de la habitación con la diagonal de la mesa

Compare the room side with the table’s diagonal

La diagonal de la mesa es

\sqrt{8^2+10^2}=\sqrt{164},

que está entre

12

y

13.

Durante el giro, esta diagonal debe caber en la habitación, así que

S\ge\sqrt{164}.

Recíprocamente, un rectángulo puede girar dentro de un círculo cuyo diámetro es su diagonal, por lo que esa cota es suficiente. El menor entero

S

es

13.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The table diagonal is

\sqrt{8^2+10^2}=\sqrt{164},

which is between

12

and

13.

During the turn this diagonal must fit across the room, so

S\ge\sqrt{164}.

Conversely, a rectangle can rotate inside a circle whose diameter is its diagonal, so that bound is sufficient. The least integer

S

is

13.

Thus the correct answer is C.

El Problema 9 en otros años