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1988 AMC 12 Problema 24

Intenta el Problema 24 del 1988 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1988 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

24.

Un trapecio isósceles está circunscrito a una circunferencia. La base mayor del trapecio mide 16,16, y uno de los ángulos de la base es arcsin⁡(0.8).\arcsin(0.8). Halla el área del trapecio.
An isosceles trapezoid is circumscribed around a circle. The longer base of the trapezoid is 16,16, and one of the base angles is arcsin⁡(0.8).\arcsin(0.8). Find the area of the trapezoid.
7272
7575
8080
9090
no se puede determinar de manera única
not uniquely determined
Respuesta: C
Conceptos:tangential quadrilateralisosceles trapezoidtrigonometríaárea
Nivel de dificultad: 2160
Pista pequeña:
En un cuadrilátero circunscrito, las sumas de las longitudes de los lados opuestos son iguales
For a circumscribed quadrilateral, the sums of opposite side lengths are equal
Pista grande:
Usa sin⁡α=45\sin\alpha=\frac{4}{5} y cos⁡α=35\cos\alpha=\frac{3}{5} para relacionar el lado no paralelo, la altura y la diferencia de las bases
Use sin⁡α=45\sin\alpha=\frac{4}{5} and cos⁡α=35\cos\alpha=\frac{3}{5} to relate the leg, height, and difference of the bases
Solución:
Sea bb la base menor y sea ℓ\ell la longitud de cada lado no paralelo. La tangencia da 16+b=2ℓ.16+b=2\ell. Si el ángulo de la base es α,\alpha, entonces sin⁡α=45, cos⁡α=35,\sin\alpha=\frac{4}{5},\ \cos\alpha=\frac{3}{5}, y 16−b=2ℓcos⁡α=(65)ℓ.16-b=2\ell\cos\alpha=(\frac{6}{5})\ell. Al resolver, se obtiene b=4, ℓ=10,b=4,\ \ell=10, y la altura es ℓsin⁡α=8.\ell\sin\alpha=8. El área es 12(16+4)(8)=80.\frac12(16+4)(8)=80.
Por tanto, la respuesta correcta es C.
Let the shorter base be bb and each leg be ℓ.\ell. Tangency gives 16+b=2ℓ.16+b=2\ell. If the base angle is α,\alpha, then sin⁡α=45, cos⁡α=35,\sin\alpha=\frac{4}{5},\ \cos\alpha=\frac{3}{5}, and 16−b=2ℓcos⁡α=(65)ℓ.16-b=2\ell\cos\alpha=(\frac{6}{5})\ell. Solving gives b=4, ℓ=10,b=4,\ \ell=10, and height ℓsin⁡α=8.\ell\sin\alpha=8. The area is 12(16+4)(8)=80.\frac12(16+4)(8)=80.
Thus the correct answer is C.
Problema 23#23
Examen completo
Problema 25#25

El Problema 24 en otros años

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