1988 AMC 12 Problema 22

Question

¿Para cuántos enteros

x

un triángulo con lados de longitudes

10,

24

y

x

tiene todos sus ángulos agudos?

For how many integers

x

does a triangle with side lengths

10,

24,

and

x

have all its angles acute?

4

5

6

7

más de

7

more than

7

Respuesta: A

Conceptos:acute triangles Pythagorean inequalities integer counting

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Aplica la desigualdad pitagórica estricta al lado mayor en cada orden posible

Apply the strict Pythagorean inequality to the largest side in each possible ordering

Pista grande:

El ángulo opuesto a

24

y el ángulo opuesto a

x

dan las cotas restrictivas

The angle opposite

24

and the angle opposite

x

give the restrictive bounds

Solución:

Para que el triángulo sea acutángulo, se requiere

x^2<10^2+24^2=676

y

24^2<10^2+x^2,

de modo que

x<26

y

x^2>476.

Para

x

entero, esto da

22\le x\le25.

Los cuatro valores también satisfacen la desigualdad triangular, por lo que hay

4

valores.

Por tanto, la respuesta correcta es A.

Acuteness requires

x^2<10^2+24^2=676

and

24^2<10^2+x^2,

so

x<26

and

x^2>476.

For integer

x,

this gives

22\le x\le25.

All four values also satisfy the triangle inequality, so there are

4

values.

Thus the correct answer is A.