1987 AMC 12 Problema 17

Question

En una competencia de matemáticas, la suma de las puntuaciones de Bill y Dick fue igual a la suma de las de Ann y Carol. Si se hubieran intercambiado las puntuaciones de Bill y Carol, la suma de las puntuaciones de Ann y Carol habría excedido la suma de las de los otros dos. Además, la puntuación de Dick excedió la suma de las puntuaciones de Bill y Carol. Determina el orden en que terminaron los cuatro concursantes, del mayor al menor. Supón que todas las puntuaciones fueron no negativas.

In a mathematics competition, the sum of the scores of Bill and Dick equalled the sum of the scores of Ann and Carol. If the scores of Bill and Carol had been interchanged, then the sum of the scores of Ann and Carol would have exceeded the sum of the scores of the other two. Also, Dick’s score exceeded the sum of the scores of Bill and Carol. Determine the order in which the four contestants finished, from highest to lowest. Assume all scores were nonnegative.

Dick, Ann, Carol, Bill

Dick, Ann, Bill, Carol

Dick, Carol, Bill, Ann

Ann, Dick, Carol, Bill

Ann, Dick, Bill, Carol

Respuesta: E

Conceptos:inequalities ordering algebraic comparison

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Representa las cuatro puntuaciones por

A,B,C,D

en el orden de los nombres

Represent the four scores by

A,B,C,D

in name order

Pista grande:

Suma y resta la igualdad

A+C=B+D

y la desigualdad

A+B\gt C+D

Add and subtract the equality

A+C=B+D

and the inequality

A+B\gt C+D

Solución:

Sean

A,B,C,D

las puntuaciones de Ann, Bill, Carol y Dick. Las condiciones son

\begin{aligned} A+C&=B+D,\\ A+B&\gt C+D,\\ D&\gt B+C. \end{aligned}

Al sumar las dos primeras comparaciones obtenemos

A\gt D.

Al restar la igualdad de la desigualdad obtenemos

B\gt C.

Finalmente,

D\gt B+C\ge B.

Por tanto,

A\gt D\gt B\gt C.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let

A,B,C,D

be the scores of Ann, Bill, Carol, and Dick. The conditions are

\begin{aligned} A+C&=B+D,\\ A+B&\gt C+D,\\ D&\gt B+C. \end{aligned}

Adding the first two comparisons gives

A\gt D.

Subtracting the equality from the inequality gives

B\gt C.

Finally,

D\gt B+C\ge B.

Hence

A\gt D\gt B\gt C.

Thus the correct answer is E.