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1956 AMC 12 Problema 24

Intenta el Problema 24 del 1956 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1956 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

24.

En la figura, AB=AC,AB=AC, el ángulo BAD=30∘,BAD=30^\circ, y AE=AD.AE=AD. Entonces el ángulo CDECDE es igual a:
In the figure AB=AC,AB=AC, angle BAD=30∘,BAD=30^\circ, and AE=AD.AE=AD. Then angle CDECDE equals:
712∘7\dfrac12^\circ
10∘10^\circ
1212∘12\dfrac12^\circ
15∘15^\circ
20∘20^\circ
Respuesta: D
Conceptos:isosceles trianglespersecución de ángulossupplementary angles
Nivel de dificultad: 2070
Pista pequeña:
Sea ∠DAE=α\angle DAE=\alpha y expresa el ángulo de la base en CC usando el triángulo isósceles ABCABC
Let ∠DAE=α\angle DAE=\alpha and express the base angle at CC using isosceles triangle ABCABC
Pista grande:
Usa AE=ADAE=AD para expresar ∠ADE,\angle ADE, y después divide el ángulo llano en DD
Use AE=ADAE=AD to express ∠ADE,\angle ADE, then split the straight angle at DD
Solución:
Sea ∠DAE=α.\angle DAE=\alpha. Como AB=ACAB=AC y AE=AD,AE=AD, ∠ACB=75∘−α2,∠ADE=90∘−α2. \begin{aligned} \angle ACB&=75^\circ-\frac\alpha2,\\ \angle ADE&=90^\circ-\frac\alpha2. \end{aligned} El triángulo ACDACD da ∠ADC=180∘−α−∠ACB,\angle ADC=180^\circ-\alpha-\angle ACB, así que ∠ADC=105∘−α2.\angle ADC=105^\circ-\frac\alpha2. Como ∠ADC=∠ADE+x,\angle ADC=\angle ADE+x, x=(105∘−α2)−(90∘−α2)=15∘. \begin{aligned} x&=\left(105^\circ-\frac\alpha2\right) -\left(90^\circ-\frac\alpha2\right)\\ &=15^\circ. \end{aligned}
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Let ∠DAE=α.\angle DAE=\alpha. Since AB=ACAB=AC and AE=AD,AE=AD, ∠ACB=75∘−α2,∠ADE=90∘−α2. \begin{aligned} \angle ACB&=75^\circ-\frac\alpha2,\\ \angle ADE&=90^\circ-\frac\alpha2. \end{aligned} Triangle ACDACD gives ∠ADC=180∘−α−∠ACB,\angle ADC=180^\circ-\alpha-\angle ACB, so ∠ADC=105∘−α2.\angle ADC=105^\circ-\frac\alpha2. Since ∠ADC=∠ADE+x,\angle ADC=\angle ADE+x, x=(105∘−α2)−(90∘−α2)=15∘. \begin{aligned} x&=\left(105^\circ-\frac\alpha2\right) -\left(90^\circ-\frac\alpha2\right)\\ &=15^\circ. \end{aligned}
Thus, the correct answer is D.
Problema 23#23
Examen completo
Problema 25#25

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