2023 AIME I Problema 1

Question

Cinco hombres y nueve mujeres se colocan a intervalos iguales alrededor de un círculo en orden aleatorio. La probabilidad de que cada hombre quede diametralmente opuesto a una mujer es

\frac{m}{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos primos entre sí. Halla

m + n.

Five men and nine women stand equally spaced around a circle in random order. The probability that every man stands diametrically opposite a woman is

\frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m + n.

Respuesta

Respuesta: 191

Conceptos:probabilidad básica combinaciones emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Las

14

posiciones se dividen en

7

pares diametralmente opuestos, y solo importa el conjunto de posiciones que ocupan los hombres.

The

14

positions split into

7

diametrically opposite pairs, and only the set of positions the men occupy matters.

Pista grande:

Cuenta los conjuntos donde ningún par tiene dos hombres: elige

5

de los

7

pares para colocar un hombre, luego una posición en cada uno; compara con

\binom{14}{5}.

Count sets where no pair has two men: choose

5

of the

7

pairs to hold a man, then a position in each; compare with

\binom{14}{5}.

Solución:

Las

14

posiciones se dividen en

7

pares diametralmente opuestos. Solo importa el conjunto de posiciones ocupadas por los hombres, y los

\binom{14}{5} = 2002

conjuntos de cinco elementos son igualmente probables. Cada hombre queda opuesto a una mujer exactamente cuando ningún par contiene dos hombres, así que elige cuáles

5

de los

7

pares contienen un hombre (

\binom{7}{5} = 21

formas) y qué posición de cada par elegido ocupa el hombre (

2^5 = 32

formas), para

21 \cdot 32 = 672

conjuntos favorables.

La probabilidad es

\frac{672}{2002} = \frac{48}{143},

así que

m + n = 48 + 143 = 191.

The

14

positions split into

7

diametrically opposite pairs. Only the set of positions occupied by the men matters, and all

\binom{14}{5} = 2002

five-element sets are equally likely. Every man stands opposite a woman exactly when no pair contains two men, so choose which

5

of the

7

pairs contain a man (

\binom{7}{5} = 21

ways) and which position of each chosen pair the man occupies (

2^5 = 32

ways), for

21 \cdot 32 = 672

favorable sets.

The probability is

\frac{672}{2002} = \frac{48}{143},

so

m + n = 48 + 143 = 191.