2018 AIME II Problema 5

Question

Supón que

x,

y,

y

z

son números complejos tales que

xy = -80 - 320i,

yz = 60,

y

zx = -96 + 24i,

donde

i = \sqrt{-1}.

Entonces existen números reales

a

y

b

tales que

x + y + z = a + bi.

Halla

a^2 + b^2.

Suppose that

x,

y,

and

z

are complex numbers such that

xy = -80 - 320i,

yz = 60,

and

zx = -96 + 24i,

where

i = \sqrt{-1}.

Then there are real numbers

a

and

b

such that

x + y + z = a + bi.

Find

a^2 + b^2.

Respuesta

Respuesta: 74

Conceptos:número complejo sistema de ecuaciones manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Multiplica las tres ecuaciones entre sí para hallar

(xyz)^2

Multiply all three equations together to find

(xyz)^2

Pista grande:

(xyz)^2 = 240^2(16 + 30i)

y

16 + 30i

es un cuadrado perfecto en los números complejos; luego divide

xyz

entre cada producto dado

(xyz)^2 = 240^2(16 + 30i)

and

16 + 30i

is a perfect square in the complex numbers; then divide

xyz

by each given product

Solución:

Multiplicando las tres ecuaciones se obtiene

\begin{aligned} (xyz)^2 &= (-80 - 320i)(60) \\ &\quad {}\cdot (-96 + 24i) \\ &= 80 \cdot 60 \cdot 24 \\ &\quad {}\cdot \,(-1 - 4i)(-4 + i) \\ &= 240^2 (16 + 30i). \end{aligned}

Como

16 + 30i = (5 + 3i)^2,

obtenemos

xyz = \pm 240(5 + 3i).

Dividiendo

xyz

entre cada producto dado se obtiene

\begin{aligned} x &= \frac{xyz}{yz} = \pm(20 + 12i), \\ y &= \frac{xyz}{zx} = \pm(-10 - 10i), \\ z &= \frac{xyz}{xy} = \pm(-3 + 3i), \end{aligned}

con signos coincidentes. Por lo tanto

x + y + z = \pm(7 + 5i),

así que

(a, b) = \pm(7, 5)

y

a^2 + b^2 = 49 + 25 = 74.

Multiplying the three equations gives

\begin{aligned} (xyz)^2 &= (-80 - 320i)(60) \\ &\quad {}\cdot (-96 + 24i) \\ &= 80 \cdot 60 \cdot 24 \\ &\quad {}\cdot \,(-1 - 4i)(-4 + i) \\ &= 240^2 (16 + 30i). \end{aligned}

Since

16 + 30i = (5 + 3i)^2,

we get

xyz = \pm 240(5 + 3i).

Dividing

xyz

by each given product yields

\begin{aligned} x &= \frac{xyz}{yz} = \pm(20 + 12i), \\ y &= \frac{xyz}{zx} = \pm(-10 - 10i), \\ z &= \frac{xyz}{xy} = \pm(-3 + 3i), \end{aligned}

with matching signs. Hence

x + y + z = \pm(7 + 5i),

so

(a, b) = \pm(7, 5)

and

a^2 + b^2 = 49 + 25 = 74.