2013 AIME II Problema 2

Question

Los enteros positivos

a

y

b

satisfacen la condición

\log_2(\log_{2^a}(\log_{2^b}(2^{1000}))) = 0.

Halla la suma de todos los valores posibles de

a + b.

Positive integers

a

and

b

satisfy the condition

\log_2(\log_{2^a}(\log_{2^b}(2^{1000}))) = 0.

Find the sum of all possible values of

a + b.

Respuesta

Respuesta: 881

Conceptos:logaritmo exponente análisis por casos

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

Ve eliminando los logaritmos de afuera hacia adentro: la ecuación exterior dice que la siguiente expresión es igual a

1,

y luego la siguiente es igual a

2^a

.

Peel the logarithms from the outside in: the outer equation says the next expression equals

1,

then the next equals

2^a

Pista grande:

Todo se reduce a

b \cdot 2^a = 1000 = 2^3 \cdot 125,

así que

2^a

solo puede ser

2,

4,

u

8

.

Everything reduces to

b \cdot 2^a = 1000 = 2^3 \cdot 125,

so

2^a

can only be

2,

4,

or

8

Solución:

Trabajando de afuera hacia adentro,

\log_2(\cdot) = 0

obliga a que

\log_{2^a}(\log_{2^b}(2^{1000})) = 1,

de modo que

\log_{2^b}(2^{1000}) = 2^a,

y por tanto

2^{1000} = (2^b)^{2^a} = 2^{b \cdot 2^a}.

De aquí

b \cdot 2^a = 1000 = 2^3 \cdot 125.

Como

a \ge 1

y

b

es un entero positivo,

2^a

debe ser uno de

2,

4,

u

8,

lo que da

(a, b) = (1, 500),

(2, 250),

y

(3, 125).

La suma de todos los valores posibles de

a + b

es

501 + 252 + 128 = 881.

Working from the outside in,

\log_2(\cdot) = 0

forces

\log_{2^a}(\log_{2^b}(2^{1000})) = 1,

so

\log_{2^b}(2^{1000}) = 2^a,

so

2^{1000} = (2^b)^{2^a} = 2^{b \cdot 2^a}.

Hence

b \cdot 2^a = 1000 = 2^3 \cdot 125.

Since

a \ge 1

and

b

is a positive integer,

2^a

must be one of

2,

4,

8,

giving

(a, b) = (1, 500),

(2, 250),

and

(3, 125).

The sum of all possible values of

a + b

is

501 + 252 + 128 = 881.