2009 AIME I Problema 2

Question

Existe un número complejo

z

con parte imaginaria

164

y un entero positivo

n

tales que

\frac{z}{z + n} = 4i.

Halla

n.

There is a complex number

z

with imaginary part

164

and a positive integer

n

such that

\frac{z}{z + n} = 4i.

Find

n.

Respuesta

Escribe

z = a + 164i

y elimina el denominador:

z = 4i(z + n).

Write

z = a + 164i

and clear the denominator:

z = 4i(z + n)

Desarrolla

4i(z + n)

e iguala primero las partes reales y luego las imaginarias para hallar

a

y después

n.

Expand

4i(z + n)

and match real parts, then imaginary parts, to find

a

and then

n

Escribe

z = a + 164i.

Al eliminar el denominador se obtiene

z = 4i(z + n),

es decir,

\begin{aligned} a + 164i &= 4i\,(a + n + 164i) \\ &= -656 + 4(a + n)i. \end{aligned}

Las partes reales dan

a = -656,

y las partes imaginarias dan

164 = 4(a + n),

de modo que

a + n = 41

y

n = 41 + 656 = 697.

Write

z = a + 164i.

Clearing the denominator gives

z = 4i(z + n),

that is,

\begin{aligned} a + 164i &= 4i\,(a + n + 164i) \\ &= -656 + 4(a + n)i. \end{aligned}

Real parts give

a = -656,

and imaginary parts give

164 = 4(a + n),

so

a + n = 41

and

n = 41 + 656 = 697.

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