Question

Un círculo cuyo diámetro

\overline{PQ}

mide

10

es tangente interiormente en

P

a un círculo de radio

20.

Se construye el cuadrado

ABCD

con

A

y

B

sobre el círculo mayor,

\overline{CD}

tangente en

Q

al círculo menor y el círculo menor fuera de

ABCD.

La longitud de

\overline{AB}

puede escribirse en la forma

m+\sqrt n,

donde

m

y

n

son enteros. Halla

m+n.

A circle with diameter

\overline{PQ}

of length

10

is internally tangent at

P

to a circle of radius

20.

Square

ABCD

is constructed with

A

and

B

on the larger circle,

\overline{CD}

tangent at

Q

to the smaller circle, and the smaller circle outside

ABCD.

The length of

\overline{AB}

can be written in the form

m+\sqrt n,

where

m

and

n

are integers. Find

m+n.

Respuesta

Respuesta: 312

Conceptos:cuerda cuadrado (geometría)cuadrática

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Coloca el círculo grande en el origen y sitúa

P

y

Q

sobre un diámetro

Place the large circle at the origin and put

P

and

Q

on a diameter

Pista grande:

Si el lado del cuadrado mide

s

, su lado-cuerda

AB

está a una distancia

|10-s|

del centro del círculo grande

If the square’s side is

s

, its chord side

AB

lies at distance

|10-s|

from the large circle’s center

Solución:

Coloca el círculo grande en el origen con

P=(20,0)

y

Q=(10,0).

Sea

s

el lado del cuadrado. Como el círculo menor está fuera del cuadrado,

\overline{CD}

se encuentra sobre

x=10

y la cuerda paralela

\overline{AB}

se encuentra sobre

x=10-s.

La fórmula para una cuerda del círculo de radio

20

da

s=2\sqrt{400-(10-s)^2}.

Al elevar al cuadrado se obtiene

s^2-16s-240=0,

de modo que

s=8+4\sqrt{19}=8+\sqrt{304}.

Por lo tanto,

m+n=8+304=312.

Put the large circle at the origin with

P=(20,0)

and

Q=(10,0).

Let the square’s side be

s.

Because the smaller circle is outside the square,

\overline{CD}

lies on

x=10

and the parallel chord

\overline{AB}

lies on

x=10-s.

A chord of the radius-

20

circle then gives

s=2\sqrt{400-(10-s)^2}.

Squaring yields

s^2-16s-240=0,

so

s=8+4\sqrt{19}=8+\sqrt{304}.

Thus

m+n=8+304=312.

1994 AIME Problema 2

Respuesta: 312

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años