Question

Halla

c

si

a,

b,

y

c

son enteros positivos que satisfacen

c=(a+bi)^3-107i,

donde

i^2=-1.

Find

c

if

a,

b,

and

c

are positive integers which satisfy

c=(a+bi)^3-107i,

where

i^2=-1.

Respuesta

Respuesta: 198

Conceptos:número complejo Ecuación diofántica factorización

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

Desarrolla

(a+bi)^3

e iguala su parte imaginaria a

107

Expand

(a+bi)^3

and set its imaginary part equal to

107

Pista grande:

La ecuación resultante muestra que el entero positivo

b

divide a

107

The resulting equation shows that the positive integer

b

divides

107

Solución:

Al desarrollar y usar que

c

es real se obtiene

b(3a^2-b^2)=107.

Como

107

es primo,

b=1

o

107.

La segunda posibilidad exigiría

3a^2=11450,

lo cual es imposible. Por tanto,

b=1,

y

3a^2-1=107,

de donde

a=6.

La parte real es

c=a^3-3ab^2=216-18=198.

Expanding and using that

c

is real gives

b(3a^2-b^2)=107.

Since

107

is prime,

b=1

or

107.

The latter would require

3a^2=11450,

which is impossible. Thus

b=1,

and

3a^2-1=107,

so

a=6.

The real part is

c=a^3-3ab^2=216-18=198.

1985 AIME Problema 3

Respuesta: 198

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 3 en otros años