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2025 AMC 12A 第 8 题

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8.

五边形 ABCDEABCDE 内接于一个圆，且 ∠BEC=∠CED=30∘\angle BEC = \angle CED = 30^\circ。令 ACAC 和 BDBD 交于点 FF，并且 AB=9AB = 9、AD=24AD = 24。BFBF 是多少？
Pentagon ABCDEABCDE is inscribed in a circle, and ∠BEC=∠CED=30∘.\angle BEC = \angle CED = 30^\circ. Let ACAC and BDBD intersect at point F,F, and suppose that AB=9AB = 9 and AD=24.AD = 24. What is BF?BF?
5711\dfrac{57}{11}
5911\dfrac{59}{11}
6011\dfrac{60}{11}
6111\dfrac{61}{11}
6311\dfrac{63}{11}
答案：E
知识点：圆周角角平分线定理余弦定理
难度评级：1440
小提示：
∠BAC\angle BAC 和 ∠CAD\angle CAD 都对着 30∘30^\circ 的弧，所以 ACAC 平分 ∠BAD\angle BAD。
∠BAC\angle BAC and ∠CAD\angle CAD both subtend 30∘30^\circ arcs, so ACAC bisects ∠BAD\angle BAD
大提示：
在 △ABD\triangle ABD 中用余弦定理求 BDBD，再用角平分线定理
Find BDBD with the Law of Cosines in △ABD,\triangle ABD, then use the Angle Bisector Theorem
解答：
圆周角 ∠BEC=30∘\angle BEC = 30^\circ 对着弧 BC=60∘BC = 60^\circ，所以同样对着弧 BCBC 的 ∠BAC\angle BAC 等于 30∘30^\circ。同理，∠CAD=30∘\angle CAD = 30^\circ。
因此 ACAC 平分 ∠BAD=60∘\angle BAD = 60^\circ。在 △ABD\triangle ABD 中， BD2=92+242−2(9)(24)cos⁡60∘=657−216=441， \begin{aligned} BD^2 &= 9^2 + 24^2 \\ &\quad {}- 2(9)(24)\cos 60^\circ \\ &= 657 - 216 = 441\text{，} \end{aligned} 所以 BD=21BD = 21。
因为 AFAF（沿着 ACAC）平分 ∠BAD\angle BAD， 由角平分线定理， BFFD=ABAD=924=38\dfrac{BF}{FD} = \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{9}{24} = \dfrac{3}{8}。因此 BF=311⋅21=6311BF = \dfrac{3}{11}\cdot 21 = \dfrac{63}{11}。
因此，正确答案是 E。
The inscribed angle ∠BEC=30∘\angle BEC = 30^\circ subtends arc BC=60∘,BC = 60^\circ, so ∠BAC,\angle BAC, which also subtends arc BC,BC, equals 30∘.30^\circ. Likewise ∠CAD=30∘.\angle CAD = 30^\circ.
Thus ACAC bisects ∠BAD=60∘.\angle BAD = 60^\circ. In △ABD,\triangle ABD, BD2=92+242−2(9)(24)cos⁡60∘=657−216=441, \begin{aligned} BD^2 &= 9^2 + 24^2 \\ &\quad {}- 2(9)(24)\cos 60^\circ \\ &= 657 - 216 = 441, \end{aligned} so BD=21.BD = 21.
Since AFAF (along ACAC) bisects ∠BAD,\angle BAD, the Angle Bisector Theorem gives BFFD=ABAD=924=38.\dfrac{BF}{FD} = \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{9}{24} = \dfrac{3}{8}. Hence BF=311⋅21=6311.BF = \dfrac{3}{11}\cdot 21 = \dfrac{63}{11}.
Thus, the correct answer is E.

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