Question

有多少个整数有序对 $(a,b)$ 使多项式 $x^3+ax^2+bx+6$ 有 $3$ 个不同的整数根？

For how many ordered pairs $(a,b)$ of integers does the polynomial $x^3+ax^2+bx+6$ have $3$ distinct integer roots?

$5$

$6$

$8$

$7$

$4$

答案：A

知识点：韦达定理因数系统列举

难度评级：1630

解答：

由韦达定理，三个不同整数根的乘积为 $-6$ 。三个不同整数且乘积为 $-6$ 的集合为 $\{1,2,-3\}$ ， $\{1,-2,3\}$ ， $\{-1,2,3\}$ ， $\{-1,-2,-3\}$ ，和 $\{1,-1,6\}$ 。每个集合决定 $a=-(p+q+r)$ 和 $b=pq+qr+rp$ ，并且这五个集合给出不同的有序对，所以共有 $5$ 个有序对 $(a,b)$ 。

因此，正确答案是 A。

By Vieta, the three distinct integer roots multiply to $-6.$ The sets of three distinct integers with product $-6$ are $\{1,2,-3\},$ $\{1,-2,3\},$ $\{-1,2,3\},$ $\{-1,-2,-3\},$ and $\{1,-1,6\}.$ Each set determines $a=-(p+q+r)$ and $b=pq+qr+rp,$ and all five give different pairs, so there are $5$ ordered pairs $(a,b).$

Thus, the correct answer is A.

2023 AMC 12B 第 14 题

答案：A

难度评级：1630

解答：

其他年份的第 14 题