2023 AMC 12B 第 14 题

Question

有多少个整数有序对

(a,b)

使多项式

x^3+ax^2+bx+6

有

3

个不同的整数根？

For how many ordered pairs

(a,b)

of integers does the polynomial

x^3+ax^2+bx+6

have

3

distinct integer roots?

5

6

8

7

4

答案：A

知识点：韦达定理因数系统列举

难度评级：1630

小提示：

如果根为整数

p,q,r

，则

pqr=-6

。

If the roots are integers

p,q,r,

then

pqr=-6

大提示：

列出三个不同整数且乘积为

-6

的集合；每个集合给出一个

(a,b)

List the sets of three distinct integers with product

-6;

each set gives one pair

(a,b)

解答：

由韦达定理，三个不同整数根的乘积为

-6

。三个不同整数且乘积为

-6

的集合为

\{1,2,-3\}

，

\{1,-2,3\}

，

\{-1,2,3\}

，

\{-1,-2,-3\}

，和

\{1,-1,6\}

。每个集合决定

a=-(p+q+r)

和

b=pq+qr+rp

，并且这五个集合给出不同的有序对，所以共有

5

个有序对

(a,b)

。

因此，正确答案是 A。

By Vieta, the three distinct integer roots multiply to

-6.

The sets of three distinct integers with product

-6

are

\{1,2,-3\},

\{1,-2,3\},

\{-1,2,3\},

\{-1,-2,-3\},

and

\{1,-1,6\}.

Each set determines

a=-(p+q+r)

and

b=pq+qr+rp,

and all five give different pairs, so there are

5

ordered pairs

(a,b).

Thus, the correct answer is A.

2023 AMC 12B 第 14 题

答案：A

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 14 题