2023 AMC 12A 第 6 题

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6.

点

A

和

B

在

y=\log_2 x

的图像上。线段

\overline{AB}

的中点是

(6,2)

。

A

和

B

的

x

坐标的正差是多少？

Points

A

and

B

lie on the graph of

y=\log_2 x.

The midpoint of

\overline{AB}

is

(6,2).

What is the positive difference between the

x

-coordinates of

A

and

B?

2\sqrt{11}

4\sqrt{3}

8

4\sqrt{5}

9

答案：D

知识点：对数中点代数变形

难度评级：1350

小提示：

两个

x

坐标之和为

2\cdot 6=12

。

The

x

-coordinates sum to

2\cdot 6=12

大提示：

两个

y

坐标的平均数是

2

，所以

\log_2 x_1+\log_2 x_2=4

，从而

x_1x_2=16

。

The

y

-coordinates average to

2,

so

\log_2 x_1+\log_2 x_2=4,

giving

x_1x_2=16

解答：

设两个

x

坐标为

x_1

和

x_2

。由中点可得

x_1+x_2=12

，由两个

y

值的平均数可得

\log_2 x_1+\log_2 x_2=4

，所以

x_1x_2=2^4=16

。

因此

\begin{gathered} |x_1-x_2|\\ {}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\\ {}=\sqrt{144-64}\\ {}=\sqrt{80}\\ {}=4\sqrt5 \end{gathered}\text{。}

所以正确答案是 D。

Let the

x

-coordinates be

x_1

and

x_2.

The midpoint gives

x_1+x_2=12,

and the average of the

y

-values gives

\log_2 x_1+\log_2 x_2=4,

so

x_1x_2=2^4=16.

Then

\begin{gathered} |x_1-x_2|\\ {}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\\ {}=\sqrt{144-64}\\ {}=\sqrt{80}\\ {}=4\sqrt5. \end{gathered}

Thus, the correct answer is D.

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