2023 AMC 12A 第 10 题

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10.

正实数

x

和

y

满足

y^3=x^2

且

(y-x)^2=4y^2

。求

x+y

？

Positive real numbers

x

and

y

satisfy

y^3=x^2

and

(y-x)^2=4y^2.

What is

x+y?

12

18

24

36

42

答案：D

知识点：方程组换元法

难度评级：1560

小提示：

开平方得

y-x=\pm 2y

。

Taking square roots,

y-x=\pm 2y

大提示：

正数条件排除其中一个符号，并迫使

x=3y

；再代入

y^3=x^2

。

Positivity rules out one sign and forces

x=3y;

substitute into

y^3=x^2

解答：

由

(y-x)^2=4y^2

，可得

y-x=\pm 2y

。若

y-x=2y

，则

x=-y\lt 0

，不可能；因此

y-x=-2y

，也就是

x=3y

。

代入

y^3=x^2=9y^2

得到

y=9

，所以

x=27

，

x+y=36

。

所以正确答案是 D。

From

(y-x)^2=4y^2

we get

y-x=\pm 2y.

The choice

y-x=2y

gives

x=-y\lt 0,

impossible, so

y-x=-2y,

meaning

x=3y.

Substituting into

y^3=x^2=9y^2

gives

y=9,

hence

x=27

and

x+y=36.

Thus, the correct answer is D.

2023 AMC 12A 第 10 题

答案：D

难度评级：1560

小提示：

大提示：

解答：

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