2023 AMC 12A 第 10 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

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10.

正实数 $x$ 和 $y$ 满足 $y^3=x^2$ 且 $(y-x)^2=4y^2$ 。求 $x+y$ ？

Positive real numbers $x$ and $y$ satisfy $y^3=x^2$ and $(y-x)^2=4y^2.$ What is $x+y?$

$12$

$18$

$24$

$36$

$42$

由 $(y-x)^2=4y^2$ ，可得 $y-x=\pm 2y$ 。若 $y-x=2y$ ，则 $x=-y\lt 0$ ，不可能；因此 $y-x=-2y$ ，也就是 $x=3y$ 。

代入 $y^3=x^2=9y^2$ 得到 $y=9$ ，所以 $x=27$ ， $x+y=36$ 。

所以正确答案是 D。

From $(y-x)^2=4y^2$ we get $y-x=\pm 2y.$ The choice $y-x=2y$ gives $x=-y\lt 0,$ impossible, so $y-x=-2y,$ meaning $x=3y.$

Substituting into $y^3=x^2=9y^2$ gives $y=9,$ hence $x=27$ and $x+y=36.$

Thus, the correct answer is D.