2021 AMC 12A Fall 第 9 题

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9.

一个长方体的表面积和体积在数值上相等，它的边长为

\log_2 x

，

\log_3 x

，和

\log_4 x

。

x

是多少？

A right rectangular prism whose surface area and volume are numerically equal has edge lengths

\log_2 x,

\log_3 x,

and

\log_4 x.

What is

x?

2\sqrt{6}

6\sqrt{6}

24

48

576

答案：E

知识点：表面积体积对数

难度评级：1500

小提示：

若边长为

a, b, c

，方程

abc = 2(ab + bc + ca)

可化为

1 = 2\left(\tfrac{1}{a} + \tfrac{1}{b} + \tfrac{1}{c}\right)

With edges

a, b, c,

the equation

abc = 2(ab + bc + ca)

divides to

1 = 2\left(\tfrac{1}{a} + \tfrac{1}{b} + \tfrac{1}{c}\right)

大提示：

\dfrac{1}{\log_2 x}

+ \dfrac{1}{\log_3 x}

+ \dfrac{1}{\log_4 x}

= \log_x 2 + \log_x 3 + \log_x 4

= \log_x 24

。

\dfrac{1}{\log_2 x}

+ \dfrac{1}{\log_3 x}

+ \dfrac{1}{\log_4 x}

= \log_x 2 + \log_x 3 + \log_x 4

= \log_x 24

解答：

令

a = \log_2 x

，

b = \log_3 x

，

c = \log_4 x

。表面积等于体积给出

2(ab + bc + ca) = abc

。两边除以

abc

，得

1 = 2\left(\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)\text{。}

因为

\dfrac{1}{a} = \log_x 2

，等等，所以和为

\log_x 2 + \log_x 3 + \log_x 4 = \log_x 24

。于是

1 = 2\log_x 24

，所以

\log_x 24 = \tfrac{1}{2}

，即

x^{\frac{1}{2}} = 24

，从而

x = 576

。

所以正确答案是 E。

Let

a = \log_2 x,

b = \log_3 x,

c = \log_4 x.

Surface area equals volume gives

2(ab + bc + ca) = abc.

Dividing by

abc,

1 = 2\left(\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right).

Since

\dfrac{1}{a} = \log_x 2,

etc., the sum is

\log_x 2 + \log_x 3 + \log_x 4 = \log_x 24.

Thus

1 = 2\log_x 24,

so

\log_x 24 = \tfrac{1}{2},

meaning

x^{\frac{1}{2}} = 24

and

x = 576.

Thus, the correct answer is E.

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