2021 AMC 12A Fall 第 8 题

Question

令

M

为从

10

到

30

（含端点）所有整数的最小公倍数。令

N

为

M

，

32

，

33

，

34

，

35

，

36

，

37

，

38

，

39

和

40

的最小公倍数。

\dfrac{N}{M}

的值是多少？

Let

M

be the least common multiple of all the integers

10

through

30,

inclusive. Let

N

be the least common multiple of

M,

32,

33,

34,

35,

36,

37,

38,

39,

and

40.

What is the value of

\dfrac{N}{M}?

1

2

37

74

2886

答案：D

知识点：最小公倍数质因数分解

难度评级：1440

小提示：

M

已经含有

2^4, 3^3, 5^2, 7

，以及不超过

29

的所有质数；检查

32

至

40

会新增什么

M

already contains

2^4, 3^3, 5^2, 7,

and all primes up to

29;

check what

32

–

40

add

大提示：

32 = 2^5

提高了

2

的幂次，且

37

是新的质数；没有其他新增内容

32 = 2^5

raises the power of

2,

and

37

is a new prime; nothing else is new

解答：

M = \operatorname{lcm}(10, \ldots, 30)

含有

2^4

（来自

16

），

3^3

（来自

27

），

5^2

（来自

25

），

7

，以及直到

29

的每个质数。

在

32, \ldots, 40

中，唯一的新贡献是

32 = 2^5

，它把

2

的幂次从

2^4

提高到

2^5

，以及新的质数

37

。其他数都只分解成

M

中已经有的质数和幂次。

因此

\dfrac{N}{M} = 2 \cdot 37 = 74

。

所以正确答案是 D。

M = \operatorname{lcm}(10, \ldots, 30)

contains

2^4

(from

16

),

3^3

(from

27

),

5^2

(from

25

),

7,

and every prime up to

29.

Among

32, \ldots, 40,

the only new contributions are

32 = 2^5,

which raises the power of

2

from

2^4

to

2^5,

and the new prime

37.

Everything else factors into primes and powers already in

M.

Therefore

\dfrac{N}{M} = 2 \cdot 37 = 74.

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12A Fall 第 8 题

答案：D

难度评级：1440

小提示：

大提示：

解答：

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