Question

令 $M$ 为从 $10$ 到 $30$ （含端点）所有整数的最小公倍数。令 $N$ 为 $M, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39$ 和 $40$ 的最小公倍数。 $\dfrac{N}{M}$ 的值是多少？

Let $M$ be the least common multiple of all the integers $10$ through $30,$ inclusive. Let $N$ be the least common multiple of $M, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39,$ and $40.$ What is the value of $\dfrac{N}{M}?$

$1$

$2$

$37$

$74$

$2886$

答案：D

知识点：最小公倍数质因数分解

难度评级：1440

解答：

$M = \operatorname{lcm}(10, \ldots, 30)$ 含有 $2^4$ （来自 $16$ ）， $3^3$ （来自 $27$ ）， $5^2$ （来自 $25$ ）， $7$ ，以及直到 $29$ 的每个质数。

在 $32, \ldots, 40$ 中，唯一的新贡献是 $32 = 2^5$ ，它把 $2$ 的幂次从 $2^4$ 提高到 $2^5$ ，以及新的质数 $37$ 。其他数都只分解成 $M$ 中已经有的质数和幂次。

因此 $\dfrac{N}{M} = 2 \cdot 37 = 74$ 。

所以正确答案是 D。

$M = \operatorname{lcm}(10, \ldots, 30)$ contains $2^4$ (from $16$ ), $3^3$ (from $27$ ), $5^2$ (from $25$ ), $7,$ and every prime up to $29.$

Among $32, \ldots, 40,$ the only new contributions are $32 = 2^5,$ which raises the power of $2$ from $2^4$ to $2^5,$ and the new prime $37.$ Everything else factors into primes and powers already in $M.$

Therefore $\dfrac{N}{M} = 2 \cdot 37 = 74.$

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12A Fall 第 8 题

答案：D

难度评级：1440

解答：

其他年份的第 8 题