Question

数 $N$ 以九为底的表示为 $27{,}006{,}000{,}052_{\text{nine}}$ 。 $N$ 除以 $5$ 的余数是多少？

The base-nine representation of the number $N$ is $27{,}006{,}000{,}052_{\text{nine}}.$ What is the remainder when $N$ is divided by $5?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

答案：D

知识点：模运算进制

难度评级：1560

解答：

因为 $9 \equiv -1 \pmod 5$ ，所以每个幂 $9^k \equiv (-1)^k$ ，因此 $N$ 同余于其以九为底的数字的交错和。

非零数字及其从右往左的位置为： $2$ （位置 $0$ ）， $5$ （位置 $1$ ）， $6$ （位置 $6$ ）， $7$ （位置 $9$ ），以及 $2$ （位置 $10$ ）。交错和为 $2 - 5 + 6 - 7 + 2 = -2$ $\equiv 3 \pmod 5$ 。

所以正确答案是 D。

Since $9 \equiv -1 \pmod 5,$ each power $9^k \equiv (-1)^k,$ so $N$ is congruent to the alternating sum of its base-nine digits.

The nonzero digits, with their positions from the right, are $2$ (position $0$ ), $5$ (position $1$ ), $6$ (position $6$ ), $7$ (position $9$ ), and $2$ (position $10$ ). The alternating sum is $2 - 5 + 6 - 7 + 2 = -2$ $\equiv 3 \pmod 5.$

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12A Fall 第 10 题

答案：D

难度评级：1560

解答：

其他年份的第 10 题