2021 AMC 12B Spring 第 25 题

Question

设

S

是坐标平面中的格点集合，其两个坐标都是从

1

到

30

的整数（含端点）。

S

中恰有

300

个点位于方程为

y=mx

的直线上或其下方。

m

的可能值构成一个长度为

\dfrac{a}{b}

的区间，其中

a

和

b

是互质正整数。

a+b

是多少？

Let

S

be the set of lattice points in the coordinate plane, both of whose coordinates are integers between

1

and

30,

inclusive. Exactly

300

points in

S

lie on or below a line with equation

y=mx.

The possible values of

m

lie in an interval of length

\dfrac{a}{b},

where

a

and

b

are relatively prime positive integers. What is

a+b?

31

47

62

72

85

答案：E

知识点：格点取整函数

难度评级：2600

小提示：

对给定的

m

，第

x

列贡献

\min(30,\lfloor mx\rfloor)

个位于该直线上或其下方的点

For a given

m,

column

x

contributes

\min(30,\lfloor mx\rfloor)

points at or below the line

大提示：

随着

m

增大，计数会在斜率

\tfrac{y}{x}

处跳变；找出夹住计数

300

的两个相邻跳变斜率

As

m

increases, the count jumps at slopes

\tfrac{y}{x};

find the two consecutive such slopes bracketing a count of

300

解答：

对斜率

m

，第

x

列（其中

1\le x\le 30

）贡献

\min(30,\lfloor mx\rfloor)

个在直线

y=mx

上或其下方的点，我们需要总数等于

300

。

在

m=\tfrac23

时，

30

的上限尚未起作用，并且

\sum_{x=1}^{30}\lfloor \frac{2x}{3}\rfloor=300

。计数会保持不变，直到遇到下一个更大的斜率

\frac{y}{x}

，其中

x\le30

。

若

\frac{y}{x}>\frac{2}{3}

，则

3y-2x

是正整数。最接近的情形满足

3y-2x=1

；在约束

x\le30

下取满足这个同余式的最大横坐标，得到

(y,x)=(19,28)

。若这个正整数至少为

2

，斜率差会更大。因此，所求区间是

[\tfrac23,\tfrac{19}{28})

，长度为

\tfrac{19}{28}-\tfrac23=\tfrac1{84}

。

因为

\gcd(1,84)=1

，所以

a+b=1+84=85

。

所以正确答案是 E。

For slope

m,

column

x

(with

1\le x\le 30

) contributes

\min(30,\lfloor mx\rfloor)

points on or below

y=mx,

and we need the total to equal

300.

At

m=\tfrac23,

the cap at

30

is inactive and

\sum_{x=1}^{30}\lfloor \frac{2x}{3}\rfloor=300.

The count remains fixed until the next larger slope

\frac{y}{x}

with

x\le30.

If

\frac{y}{x}>\frac{2}{3},

then

3y-2x

is a positive integer. The closest possibility has

3y-2x=1;

maximizing

x\le30

in this congruence gives

(y,x)=(19,28).

Any numerator at least

2

gives a larger gap. Hence the interval is

[\tfrac23,\tfrac{19}{28}),

whose length is

\tfrac{19}{28}-\tfrac23=\tfrac1{84}.

Since

\gcd(1,84)=1,

a+b=1+84=85.

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12B Spring 第 25 题

答案：E

难度评级：2600

小提示：

大提示：

解答：

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