Question

设 $S$ 是坐标平面中的格点集合，其两个坐标都是从 $1$ 到 $30$ 的整数（含端点）。 $S$ 中恰有 $300$ 个点位于方程为 $y=mx$ 的直线上或其下方。 $m$ 的可能值构成一个长度为 $\dfrac{a}{b}$ 的区间，其中 $a$ 和 $b$ 是互质正整数。 $a+b$ 是多少？

Let $S$ be the set of lattice points in the coordinate plane, both of whose coordinates are integers between $1$ and $30,$ inclusive. Exactly $300$ points in $S$ lie on or below a line with equation $y=mx.$ The possible values of $m$ lie in an interval of length $\dfrac{a}{b},$ where $a$ and $b$ are relatively prime positive integers. What is $a+b?$

$31$

$47$

$62$

$72$

$85$

答案：E

知识点：格点取整函数

难度评级：2600

解答：

对斜率 $m$ ，第 $x$ 列（其中 $1\le x\le 30$ ）贡献 $\min(30,\lfloor mx\rfloor)$ 个在直线 $y=mx$ 上或其下方的点，我们需要总数等于 $300$ 。

这个计数是关于 $m=\tfrac23$ 的阶梯函数，并在分数 $30$ 处跳变。依次扫过这些断点，当计数等于 $\sum_{x=1}^{30}\lfloor 2x/3\rfloor=300$ 时， $y/x$ 对应一个单一区间，其端点是相邻的两个这样的斜率。 $x\le30$ 。

该区间从 $y/x>2/3$ 到 $3y-2x$ 长度为 $3y-2x=1$ 。 $x\le30$ $(y,x)=(19,28)$ 。 $2$ $[\tfrac23,\tfrac{19}{28})$ ， $\tfrac{19}{28}-\tfrac23=\tfrac1{84}$ 。

因为 $\gcd(1,84)=1$ ，所以 $a+b=1+84=85$ 。

所以正确答案是 E。

For slope $m,$ column $x$ (with $1\le x\le 30$ ) contributes $\min(30,\lfloor mx\rfloor)$ points on or below $y=mx,$ and we need the total to equal $300.$

At $m=\tfrac23,$ the cap at $30$ is inactive and $\sum_{x=1}^{30}\lfloor 2x/3\rfloor=300.$ The count remains fixed until the next larger slope $y/x$ with $x\le30.$

If $y/x>2/3,$ then $3y-2x$ is a positive integer. The closest possibility has $3y-2x=1;$ maximizing $x\le30$ in this congruence gives $(y,x)=(19,28).$ Any numerator at least $2$ gives a larger gap. Hence the interval is $[\tfrac23,\tfrac{19}{28}),$ whose length is $\tfrac{19}{28}-\tfrac23=\tfrac1{84}.$

Since $\gcd(1,84)=1,$ $a+b=1+84=85.$

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12B Spring 第 25 题

答案：E

难度评级：2600

解答：

其他年份的第 25 题