2020 AMC 12A 第 24 题

Question

假设

\triangle ABC

是边长为

s

的等边三角形，并且具有如下性质：三角形内部存在唯一一点

P

，使得

AP = 1

，

BP = \sqrt{3}

，且

CP = 2

。

s

是多少？

Suppose that

\triangle ABC

is an equilateral triangle of side length

s,

with the property that there is a unique point

P

inside the triangle such that

AP = 1,

BP = \sqrt{3},

and

CP = 2.

What is

s?

1 + \sqrt{2}

\sqrt{7}

\dfrac{8}{3}

\sqrt{5 + \sqrt{5}}

2\sqrt{2}

答案：B

知识点：等边三角形二次方程

难度评级：2270

小提示：

对于等边三角形内一点到三个顶点的距离

p, q, r

以及边长

s

，四个值满足

3(p^4 + q^4 + r^4 + s^4)

= (p^2 + q^2 + r^2 + s^2)^2

For a point at distances

p, q, r

from the vertices of an equilateral triangle of side

s,

the four values satisfy

3(p^4 + q^4 + r^4 + s^4)

= (p^2 + q^2 + r^2 + s^2)^2

大提示：

代入

p^2 = 1

，

q^2 = 3

，

r^2 = 4

，并解所得关于

s^2

的二次方程

Substitute

p^2 = 1,

q^2 = 3,

r^2 = 4

and solve the resulting quadratic in

s^2

解答：

等边三角形内一点到三个顶点的距离为

p, q, r

，边长为

s

时，满足

3(p^4 + q^4 + r^4 + s^4)

= (p^2 + q^2 + r^2 + s^2)^2

。

令

p^2 = 1

，

q^2 = 3

，

r^2 = 4

，并设

S = s^2

得到

3(26 + S^2) = (8 + S)^2

，所以

S^2 - 8S + 7 = 0

，从而

S = 1

或

S = 7

。

边长为

1

的三角形不可能包含一个到某顶点距离为

2

的点，所以

S = 7

，于是

s = \sqrt{7}

。

因此，正确答案是 B。

A point at distances

p, q, r

from the vertices of an equilateral triangle of side

s

satisfies

3(p^4 + q^4 + r^4 + s^4)

= (p^2 + q^2 + r^2 + s^2)^2.

With

p^2 = 1,

q^2 = 3,

r^2 = 4,

letting

S = s^2

gives

3(26 + S^2) = (8 + S)^2,

so

S^2 - 8S + 7 = 0

and

S = 1

or

S = 7.

A triangle of side

1

cannot contain a point at distance

2

from a vertex, so

S = 7

and

s = \sqrt{7}.

Thus, B is the correct answer.

2020 AMC 12A 第 24 题

答案：B

难度评级：2270

小提示：

大提示：

解答：

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