2018 AMC 12B 第 22 题

Question

考虑次数至多为

3

的多项式

P(x)

，其每个系数都属于

\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}

。有多少个这样的多项式满足

P(-1)=-9

？

Consider polynomials

P(x)

of degree at most

3,

each of whose coefficients is an element of

\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}.

How many such polynomials satisfy

P(-1)=-9?

110

143

165

220

286

答案：D

知识点：隔板法换元法

难度评级：2330

小提示：

写

P(x)=ax^3+bx^2+cx+d

；则

P(-1)=-a+b-c+d=-9

。

Write

P(x)=ax^3+bx^2+cx+d;

then

P(-1)=-a+b-c+d=-9

大提示：

代换

a'=9-a

与

c'=9-c

，化为

a'+b+c'+d=9

，且每个变量都在

[0,9]

中。

Substitute

a'=9-a

and

c'=9-c

to turn it into

a'+b+c'+d=9

with each variable in

[0,9]

解答：

写

P(x)=ax^3+bx^2+cx+d

，其中

a,b,c,d

都在

\{0,\ldots,9\}

中。条件为

-a+b-c+d=-9

。

令

a'=9-a

和

c'=9-c

，它们也都在

[0,9]

中。于是

a'+b+c'+d=9

。由隔板法，非负整数解的个数为

\binom{9+3}{3}=\binom{12}{3}=220

，且因为总和是

9

，每个变量自动不超过上界。

所以正确答案是 D。

Write

P(x)=ax^3+bx^2+cx+d

with each of

a,b,c,d

in

\{0,\ldots,9\}.

The condition is

-a+b-c+d=-9.

Let

a'=9-a

and

c'=9-c,

both in

[0,9].

Then

a'+b+c'+d=9.

By stars and bars the number of nonnegative solutions is

\binom{9+3}{3}=\binom{12}{3}=220,

and each automatically satisfies the upper bounds since the sum is

9.

Thus, the correct answer is D.

2018 AMC 12B 第 22 题

答案：D

难度评级：2330

小提示：

大提示：

解答：

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