Question

方程 $z^2 = 4 + 4\sqrt{15}\,i$ 和 $z^2 = 2 + 2\sqrt{3}\,i$ 的解（其中 $i = \sqrt{-1}$ ）在复平面中构成一个平行四边形的顶点。这个平行四边形的面积可写成 $p\sqrt{q} - r\sqrt{s}$ ，其中 $p$ 、 $q$ 、 $r$ 和 $s$ 是正整数，且 $q$ 和 $s$ 都不被任何质数的平方整除。 $p + q + r + s$ 是多少？

The solutions to the equations $z^2 = 4 + 4\sqrt{15}\,i$ and $z^2 = 2 + 2\sqrt{3}\,i,$ where $i = \sqrt{-1},$ form the vertices of a parallelogram in the complex plane. The area of this parallelogram can be written in the form $p\sqrt{q} - r\sqrt{s},$ where $p,$ $q,$ $r,$ and $s$ are positive integers and neither $q$ nor $s$ is divisible by the square of any prime number. What is $p + q + r + s?$

$20$

$21$

$22$

$23$

$24$

答案：A

知识点：复数鞋带公式

难度评级：2270

解答：

写 $z = a + bi$ ，由 $(a + bi)^2 = 4 + 4\sqrt{15}\,i$ 得 $a^2 - b^2 = 4$ 和 $2ab = 4\sqrt{15}$ 。因此 $a^4 - 4a^2 - 60 = 0$ ，即 $(a^2 - 10)(a^2 + 6) = 0$ ，得 $a = \pm\sqrt{10}$ ， $b = \pm\sqrt{6}$ 。第一个方程给出的顶点为 $\pm(\sqrt{10} + \sqrt{6}\,i)$ 。对 $z^2 = 2 + 2\sqrt{3}\,i$ 用同样方法得到 $\pm(\sqrt{3} + i)$ 。

对 $(\sqrt{10}, \sqrt{6})$ ， $(\sqrt{3}, 1)$ ， $(-\sqrt{10}, -\sqrt{6})$ ， $(-\sqrt{3}, -1)$ 使用鞋带公式，面积为 $6\sqrt{2} - 2\sqrt{10}$ 。因此 $p + q + r + s$ $= 6 + 2 + 2 + 10$ $= 20$ 。

所以正确答案是 A。

Writing $z = a + bi$ with $(a + bi)^2 = 4 + 4\sqrt{15}\,i$ gives $a^2 - b^2 = 4$ and $2ab = 4\sqrt{15}.$ Then $a^4 - 4a^2 - 60 = 0,$ so $(a^2 - 10)(a^2 + 6) = 0,$ yielding $a = \pm\sqrt{10},$ $b = \pm\sqrt{6}.$ The vertices from the first equation are $\pm(\sqrt{10} + \sqrt{6}\,i).$ The same method on $z^2 = 2 + 2\sqrt{3}\,i$ gives $\pm(\sqrt{3} + i).$

Applying the shoelace formula to $(\sqrt{10}, \sqrt{6}),$ $(\sqrt{3}, 1),$ $(-\sqrt{10}, -\sqrt{6}),$ $(-\sqrt{3}, -1)$ gives area $6\sqrt{2} - 2\sqrt{10}.$ Thus $p + q + r + s$ $= 6 + 2 + 2 + 10$ $= 20.$

Thus, the correct answer is A.

2018 AMC 12A 第 22 题

答案：A

难度评级：2270

解答：

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