2018 AMC 12A 第 14 题

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14.

方程

\log_{3x} 4 = \log_{2x} 8

的解中，

x

是正实数且不等于

\tfrac13

或

\tfrac12

，该解可写成

\tfrac{p}{q}

，其中

p

和

q

是互质的正整数。

p + q

是多少？

The solution to the equation

\log_{3x} 4 = \log_{2x} 8,

where

x

is a positive real number other than

\tfrac13

or

\tfrac12,

can be written as

\tfrac{p}{q},

where

p

and

q

are relatively prime positive integers. What is

p + q?

5

13

17

31

35

答案：D

知识点：对数

难度评级：1730

小提示：

用共同底数改写两边：

\log_{3x} 4 = \tfrac{\log 4}{\log 3x}

，

\log_{2x} 8

同理

Rewrite both sides with a common base:

\log_{3x} 4 = \tfrac{\log 4}{\log 3x},

and similarly for

\log_{2x} 8

大提示：

交叉相乘后方程化为

(2x)^2 = (3x)^3

；解出

x

并写成既约分数

Cross-multiplying reduces the equation to

(2x)^2 = (3x)^3;

solve for

x

as a reduced fraction

解答：

把两个对数都写成以

2

为底：

\tfrac{2}{\log_2 3x} = \tfrac{3}{\log_2 2x}

，所以

2 \log_2 2x = 3 \log_2 3x

，即

(2x)^2 = (3x)^3

。于是

4x^2 = 27x^3

，得

x = \tfrac{4}{27}

。因为

\gcd(4, 27) = 1

，所以

p + q = 4 + 27 = 31

。

所以正确答案是 D。

Writing both logarithms in base

2:

\tfrac{2}{\log_2 3x} = \tfrac{3}{\log_2 2x},

so

2 \log_2 2x = 3 \log_2 3x,

i.e.

(2x)^2 = (3x)^3.

Then

4x^2 = 27x^3,

giving

x = \tfrac{4}{27}.

Since

\gcd(4, 27) = 1,

we get

p + q = 4 + 27 = 31.

Thus, the correct answer is D.

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