Question

四边形 $ABCD$ 在 $B$ 和 $C$ 处有直角， $\triangle ABC \sim \triangle BCD$ ，且 $AB \gt BC$ 。在 $ABCD$ 内部有一点 $E$ ，使得 $\triangle ABC \sim \triangle CEB$ ，并且 $\triangle AED$ 的面积是 $\triangle CEB$ 面积的 $17$ 倍。 $\dfrac{AB}{BC}$ 是多少？

Quadrilateral $ABCD$ has right angles at $B$ and $C,$ $\triangle ABC \sim \triangle BCD,$ and $AB \gt BC.$ There is a point $E$ in the interior of $ABCD$ such that $\triangle ABC \sim \triangle CEB$ and the area of $\triangle AED$ is $17$ times the area of $\triangle CEB.$ What is $\dfrac{AB}{BC}?$

$1 + \sqrt{2}$

$2 + \sqrt{2}$

$\sqrt{17}$

$2 + \sqrt{5}$

$1 + 2\sqrt{3}$

答案：D

知识点：相似坐标几何鞋带公式

难度评级：2550

解答：

令 $BC = 1$ ， $AB = r \gt 1$ 。由 $\triangle ABC \sim \triangle BCD$ 以及直角位置，可取 $C = (0,0)$ ， $B = (0,1)$ ， $A = (r,1)$ ， $D = \bigl(\tfrac1r, 0\bigr)$ 。设 $E = (x, y)$ ，其中 $x, y \gt 0$ 。由 $\triangle ABC \sim \triangle CEB$ 得 $\dfrac{x}{y} = \tan(\angle ECB)$ $= \tan(\angle BAC)$ $= \dfrac1r$ 且 $x^2 + y^2 = \dfrac{r^2}{1 + r^2}$ ，所以 $x = \dfrac{r}{1+r^2}$ ， $y = \dfrac{r^2}{1+r^2}$ 。 $17$ 的面积为，用鞋带公式计算，再令，化简为 $r^4 - 18r^2 + 1 = 0$ 。因此 $r^2 = 9 + 4\sqrt5 = (2 + \sqrt5)^2$ ，所以 $r = 2 + \sqrt5$ 。 $\begin{aligned} [\triangle CEB]&=\dfrac{r}{2(1+r^2)},\\ [\triangle AED]&=\dfrac{r^4-r^2+1}{2r(1+r^2)}. \end{aligned}$

所以正确答案是 D。

Set $BC = 1$ and $AB = r \gt 1.$ The similarity $\triangle ABC \sim \triangle BCD$ with the right angles places the figure at $C = (0,0),$ $B = (0,1),$ $A = (r,1),$ $D = \bigl(\tfrac1r, 0\bigr).$ Let $E = (x, y)$ with $x, y \gt 0.$ From $\triangle ABC \sim \triangle CEB$ we get $\dfrac{x}{y} = \tan(\angle ECB)$ $= \tan(\angle BAC)$ $= \dfrac1r$ and $x^2 + y^2 = \dfrac{r^2}{1 + r^2},$ so $x = \dfrac{r}{1+r^2},$ $y = \dfrac{r^2}{1+r^2}.$ The two relevant areas are $\begin{aligned} [\triangle CEB]&=\dfrac{r}{2(1+r^2)},\\ [\triangle AED]&=\dfrac{r^4-r^2+1}{2r(1+r^2)}. \end{aligned}$ Setting the second equal to $17$ times the first gives $r^4 - 18r^2 + 1 = 0.$ Then $r^2 = 9 + 4\sqrt5 = (2 + \sqrt5)^2,$ so $r = 2 + \sqrt5.$

Thus, the correct answer is D.

2017 AMC 12B 第 24 题

答案：D

难度评级：2550

解答：

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