2017 AMC 12B 第 19 题

Question

设

N = 123456789101112\ldots4344

是把整数

1

到

44

按顺序一个接一个写下形成的

79

位数。

N

除以

45

的余数是多少？

Let

N = 123456789101112\ldots4344

be the

79

-digit number that is formed by writing the integers from

1

to

44

in order, one after the other. What is the remainder when

N

is divided by

45?

1

4

9

18

44

答案：C

知识点：模运算整除性数字

难度评级：1910

小提示：

因为

45 = 9 \cdot 5

，分别求

N \bmod 5

（最后一位）和

N \bmod 9

（数字和）

Since

45 = 9 \cdot 5,

find

N \bmod 5

(the last digit) and

N \bmod 9

(the digit sum)

大提示：

数字和是

9

的倍数，所以

N \equiv 0 \pmod 9

；再结合模

5

的余数

The digit sum is a multiple of

9,

so

N \equiv 0 \pmod 9;

combine with the residue mod

5

解答：

N

的最后一位是

4

，所以

N \equiv 4 \pmod 5

。对模

9

，求数字和：数字

1

到

9

贡献它们自身的数字，

10

到

44

的十位数字与个位数字合计为

270

，这是

9

的倍数，所以

N \equiv 0 \pmod 9

。因此

N - 9

是

9

的倍数，且它的最后一位是

5

，所以也是

5

的倍数；于是

N - 9

是

45

的倍数。因此

N \equiv 9 \pmod{45}

。

所以正确答案是 C。

The last digit of

N

is

4,

so

N \equiv 4 \pmod 5.

For mod

9,

sum the digits: the numbers

1

–

9

contribute their digits, the tens digits of

10

–

44

and the units digits together sum to

270,

which is a multiple of

9,

so

N \equiv 0 \pmod 9.

The number

N - 9

is then a multiple of

9,

and its last digit is

5,

so it is a multiple of

5;

hence

N - 9

is a multiple of

45.

Therefore

N \equiv 9 \pmod{45}.

Thus, the correct answer is C.

2017 AMC 12B 第 19 题

答案：C

难度评级：1910

小提示：

大提示：

解答：

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