2017 AMC 12B 第 14 题

Question

一种冰淇淋新品由一个杯子和冰淇淋组成。杯子形状是一个高

4

英寸的直圆锥台，底部底面直径为

2

英寸，顶部底面直径为

4

英寸，杯内装满实心冰淇淋；此外上面还有一个高

4

英寸的实心冰淇淋圆锥，其底面在下方，正好是圆锥台的上底面。冰淇淋的总体积是多少立方英寸？

An ice-cream novelty item consists of a cup in the shape of a

4

-inch-tall frustum of a right circular cone, with a

2

-inch-diameter base at the bottom and a

4

-inch-diameter base at the top, packed solid with ice cream, together with a solid cone of ice cream of height

4

inches, whose base, at the bottom, is the top base of the frustum. What is the total volume of the ice cream, in cubic inches?

8\pi

\dfrac{28\pi}{3}

12\pi

14\pi

\dfrac{44\pi}{3}

答案：E

知识点：圆锥体积相似

难度评级：1530

小提示：

圆锥台是一个完整圆锥（半径

2

，高

8

）减去一个小圆锥（半径

1

，高

4

）

The frustum is a full cone (radius

2,

height

8

) minus a small cone (radius

1,

height

4

)

大提示：

再加上顶部半径为

2

、高为

4

的实心圆锥；使用

V = \tfrac13 \pi r^2 h

。

Add the top solid cone of radius

2

and height

4;

use

V = \tfrac13 \pi r^2 h

解答：

将圆锥台的侧边延长至一点，由相似三角形可知，该圆锥台等于一个半径为

2

、高为

8

的圆锥减去一个半径为

1

、高为

4

的圆锥。因此圆锥台的体积为

\begin{aligned} &\tfrac13 \pi (2^2)(8) \\ &\quad {}- \tfrac13 \pi (1^2)(4) \\ &\quad {}= \tfrac{32}{3}\pi - \tfrac{4}{3}\pi \\ &\quad {}= \tfrac{28}{3}\pi\text{。} \end{aligned}

顶部半径为

2

、高为

4

的圆锥体积为

\tfrac13 \pi (2^2)(4) = \tfrac{16}{3}\pi

。总体积为

\tfrac{28}{3}\pi + \tfrac{16}{3}\pi = \tfrac{44}{3}\pi

。

所以正确答案是 E。

Extending the frustum’s sides to a point, similar triangles show the frustum equals a cone of radius

2

and height

8

minus a cone of radius

1

and height

4:

\begin{aligned} &\tfrac13 \pi (2^2)(8) \\ &\quad {}- \tfrac13 \pi (1^2)(4) \\ &\quad {}= \tfrac{32}{3}\pi - \tfrac{4}{3}\pi \\ &\quad {}= \tfrac{28}{3}\pi. \end{aligned}

The top cone of radius

2

and height

4

adds

\tfrac13 \pi (2^2)(4) = \tfrac{16}{3}\pi.

The total is

\tfrac{28}{3}\pi + \tfrac{16}{3}\pi = \tfrac{44}{3}\pi.

Thus, the correct answer is E.

2017 AMC 12B 第 14 题

答案：E

难度评级：1530

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 14 题