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2017 AMC 12A 第 14 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

14.

Alice 拒绝坐在 Bob 或 Carla 旁边。Derek 拒绝坐在 Eric 旁边。在这些条件下，他们五个人坐成一排 55 把椅子有多少种方式？

Alice refuses to sit next to either Bob or Carla. Derek refuses to sit next to Eric. How many ways are there for the five of them to sit in a row of 55 chairs under these conditions?

1212

1616

2828

3232

4040

答案：C
知识点：有限制的排列容斥原理
难度评级：1730
解答：

令 XX， YY， ZZ 分别表示 Alice-Bob、Alice-Carla、Derek-Eric 相邻的坐法。 所求为 5!−∣X∪Y∪Z∣5!-|X\cup Y\cup Z|。

把一个被禁止的配对看作一个块，得到 ∣X∣=∣Y∣=∣Z∣=2⋅4!=48|X|=|Y|=|Z|=2\cdot4!=48。 对交集，有 ∣X∩Y∣=2⋅3!=12|X\cap Y|=2\cdot3!=12（Alice 在 Bob 和 Carla 中间）， ∣X∩Z∣=∣Y∩Z∣|X\cap Z|=|Y\cap Z| =2⋅2⋅3!=24=2\cdot2\cdot3!=24， 且 ∣X∩Y∩Z∣=2⋅2⋅2!=8|X\cap Y\cap Z|=2\cdot2\cdot2!=8。

由容斥，∣X∪Y∪Z∣=(48⋅3)|X\cup Y\cup Z|=(48\cdot3) −(12+24+24)-(12+24+24) +8=92+8=92， 所以答案是 120−92=28120-92=28。

所以正确答案是 C。

Let X,X, Y,Y, ZZ be the seatings where Alice-Bob, Alice-Carla, and Derek-Eric are adjacent, respectively. The answer is 5!−∣X∪Y∪Z∣.5!-|X\cup Y\cup Z|.

Treating a forbidden pair as a block gives ∣X∣=∣Y∣=∣Z∣=2⋅4!=48.|X|=|Y|=|Z|=2\cdot4!=48. For intersections, ∣X∩Y∣=2⋅3!=12|X\cap Y|=2\cdot3!=12 (Alice between Bob and Carla), ∣X∩Z∣=∣Y∩Z∣|X\cap Z|=|Y\cap Z| =2⋅2⋅3!=24,=2\cdot2\cdot3!=24, and ∣X∩Y∩Z∣=2⋅2⋅2!=8.|X\cap Y\cap Z|=2\cdot2\cdot2!=8.

By inclusion-exclusion, ∣X∪Y∪Z∣=(48⋅3)|X\cup Y\cup Z|=(48\cdot3) −(12+24+24)-(12+24+24) +8=92,+8=92, so the answer is 120−92=28.120-92=28.

Thus, the correct answer is C.

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