2016 AMC 12A 第 25 题

Question

设

k

为正整数。Bernardo 和 Silvia 轮流在黑板上写数和擦数：Bernardo 先写下最小的

k+1

位完全平方数。每当 Bernardo 写下一个数，Silvia 就擦去它的最后

k

位数字。然后 Bernardo 写下下一个完全平方数，Silvia 再擦去最后

k

位，如此继续，直到黑板上最后留下的两个数相差至少

2

。令

f(k)

为黑板上没有出现过的最小正整数。例如，当

k=1

时，Bernardo 写下的数为

16

，

25

，

36

，

49

和

64

；Silvia 擦除后黑板上显示的数为

1

，

2

，

3

，

4

和

6

，因此

f(1)=5

。求

f(2)+f(4)

+f(6)+\cdots+f(2016)

的各位数字之和。

Let

k

be a positive integer. Bernardo and Silvia take turns writing and erasing numbers on a blackboard as follows: Bernardo starts by writing the smallest perfect square with

k+1

digits. Every time Bernardo writes a number, Silvia erases the last

k

digits of it. Bernardo then writes the next perfect square, Silvia erases the last

k

digits of it, and this process continues until the last two numbers that remain on the board differ by at least

2.

Let

f(k)

be the smallest positive integer not written on the board. For example, if

k=1,

then the numbers that Bernardo writes are

16,

25,

36,

49,

and

64,

and the numbers showing on the board after Silvia erases are

1,

2,

3,

4,

and

6,

and thus

f(1)=5.

What is the sum of the digits of

f(2)+f(4)

+f(6)+\cdots+f(2016)?

7986

8002

8030

8048

8064

答案：E

知识点：完全平方数取整函数数字

难度评级：2720

小提示：

对偶数

k=2j

，黑板上显示的数是

\left\lfloor \frac{n^2}{10^{k}}\right\rfloor

，其中

n\ge 10^{j}

。

For even

k=2j,

the numbers shown are

\left\lfloor \frac{n^2}{10^{k}}\right\rfloor

for

n\ge 10^{j}

大提示：

证明

f(2j)=\dfrac{10^{2j}}{4}+10^{j}

，然后对

j

求和。

Show

f(2j)=\dfrac{10^{2j}}{4}+10^{j},

then add over

j

解答：

取

k=2j

。最小的

k+1

位完全平方数是

10^{k}=(10^{j})^2

。Silvia 擦除数字后，黑板上显示的数为

\left\lfloor \frac{n^2}{10^{k}}\right\rfloor

，其中

n=10^{j}, 10^{j}+1,\ldots

。

令

M=10^k

。从

n

到

n+1

要出现至少为

2

的跳跃，需要

(n+1)^2-n^2=2n+1\gt M

，因此写

n=\frac{M}{2}+m

，其中

m\ge0

。当

m=0

时跳跃只有

1

，所以第一次更大的跳跃满足

m\ge1

。令

A=\left\lfloor \frac{n^2}{M}\right\rfloor

，

B=\left\lfloor\frac{(n+1)^2}{M}\right\rfloor

。因为

M

能被

4

整除，

\begin{aligned} A&=\dfrac M4+m+\left\lfloor\dfrac{m^2}{M}\right\rfloor,\\ B&=\dfrac M4+m+1\\ &\quad{}+\left\lfloor\dfrac{(m+1)^2}{M}\right\rfloor \end{aligned}\text{。}

因此第一次至少为

2

的跳跃出现在使

m^2\lt M\le(m+1)^2

成立的最小

m

处。因为

\sqrt M=10^j

，所以

m=10^j-1

。间隙之前最后显示的数是

\frac{M}{4}+10^j-1

，所以最小的未出现正整数为

f(2j)=\dfrac{10^{2j}}4+10^j\text{。}

对

j=1,\ldots,1008

求和，得到

\begin{gathered} \sum_{j=1}^{1008}f(2j)\\ =25\sum_{j=0}^{1007}10^{2j}\\ {}+10\sum_{j=0}^{1007}10^{j}\\ =\underbrace{2525\cdots25}_{2016\text{ 位数字}}\\ {}+\underbrace{111\cdots10}_{1009\text{ 位数字}} \end{gathered}\text{。}

相加时没有进位，所以各位数字之和为

1008\cdot(2+5)

+1008\cdot 1=1008\cdot 8=8064

。

所以正确答案是 E。

Take

k=2j.

The smallest perfect square with

k+1

digits is

10^{k}=(10^{j})^2,

and after Silvia erases, the numbers shown are

\left\lfloor \frac{n^2}{10^{k}}\right\rfloor

for

n=10^{j}, 10^{j}+1,\ldots

Put

M=10^k.

A jump of at least

2

from

n

to

n+1

requires

(n+1)^2-n^2=2n+1\gt M,

so write

n=\frac{M}{2}+m

with

m\ge0.

The case

m=0

gives a jump of only

1,

so the first larger jump has

m\ge1.

Let

A=\left\lfloor \frac{n^2}{M}\right\rfloor

and

B=\left\lfloor\frac{(n+1)^2}{M}\right\rfloor.

Because

M

is divisible by

4,

\begin{aligned} A&=\dfrac M4+m+\left\lfloor\dfrac{m^2}{M}\right\rfloor,\\ B&=\dfrac M4+m+1\\ &\quad{}+\left\lfloor\dfrac{(m+1)^2}{M}\right\rfloor. \end{aligned}

Therefore the first jump of at least

2

occurs at the first

m

for which

m^2\lt M\le(m+1)^2.

Since

\sqrt M=10^j,

this is

m=10^j-1.

The last displayed value before the gap is

\frac{M}{4}+10^j-1,

so the smallest missing integer is

f(2j)=\dfrac{10^{2j}}4+10^j.

Summing over

j=1,\ldots,1008,

\begin{gathered} \sum_{j=1}^{1008}f(2j)\\ =25\sum_{j=0}^{1007}10^{2j}\\ {}+10\sum_{j=0}^{1007}10^{j}\\ =\underbrace{2525\cdots25}_{2016\text{ digits}}\\ {}+\underbrace{111\cdots10}_{1009\text{ digits}}. \end{gathered}

There are no carries, so the digit sum is

1008\cdot(2+5)

+1008\cdot 1=1008\cdot 8=8064.

Thus, the correct answer is E.

2016 AMC 12A 第 25 题

答案：E

难度评级：2720

小提示：

大提示：

解答：

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