Question

设 $k$ 为正整数。Bernardo 和 Silvia 轮流在黑板上写数和擦数：Bernardo 先写下最小的 $k+1$ 位完全平方数。每当 Bernardo 写下一个数，Silvia 就擦去它的最后 $k$ 位数字。然后 Bernardo 写下下一个完全平方数，Silvia 再擦去最后 $k$ 位，如此继续，直到黑板上最后留下的两个数相差至少 $2$ 。令 $f(k)$ 为黑板上没有出现过的最小正整数。例如，当 $k=1$ 时，Bernardo 写下的数为 $16, 25, 36, 49$ 和 $64$ ；Silvia 擦除后黑板上显示的数为 $1, 2, 3, 4$ 和 $6$ ，因此 $f(1)=5$ 。求 $f(2)+f(4)$ $+f(6)+\cdots+f(2016)$ 的各位数字之和。

Let $k$ be a positive integer. Bernardo and Silvia take turns writing and erasing numbers on a blackboard as follows: Bernardo starts by writing the smallest perfect square with $k+1$ digits. Every time Bernardo writes a number, Silvia erases the last $k$ digits of it. Bernardo then writes the next perfect square, Silvia erases the last $k$ digits of it, and this process continues until the last two numbers that remain on the board differ by at least $2.$ Let $f(k)$ be the smallest positive integer not written on the board. For example, if $k=1,$ then the numbers that Bernardo writes are $16, 25, 36, 49,$ and $64,$ and the numbers showing on the board after Silvia erases are $1, 2, 3, 4,$ and $6,$ and thus $f(1)=5.$ What is the sum of the digits of $f(2)+f(4)$ $+f(6)+\cdots+f(2016)?$

$7986$

$8002$

$8030$

$8048$

$8064$

答案：E

知识点：完全平方数取整函数数字

难度评级：2720

解答：

取 $k=2j$ 。最小的 $k+1$ 位完全平方数是 $10^{k}=(10^{j})^2$ 。 Silvia 擦除数字后，黑板上显示的数为 $\left\lfloor n^2/10^{k}\right\rfloor$ ，其中 $n=10^{j}, 10^{j}+1,\ldots$ 。

相邻两项的增量为 $M=10^k$ 或 $1$ ，直到第一次出现至少为 $2$ 的跳跃。 $n$ $n+1$ $(n+1)^2-n^2=2n+1\gt M$ ， $n=M/2+m$ $m\ge0$ 。 $m=0$ $m\ge1$ 。 $A=\left\lfloor n^2/M\right\rfloor$ $B=\left\lfloor(n+1)^2/M\right\rfloor$ 。 $M$ $4$ ， $\begin{aligned} A&=\dfrac M4+m+\left\lfloor\dfrac{m^2}{M}\right\rfloor,\\ B&=\dfrac M4+m+1\\ &\quad{}+\left\lfloor\dfrac{(m+1)^2}{M}\right\rfloor. \end{aligned}$

第一次跳跃发生在 $2$ ，其中 $m$ 。 $m^2\lt M\le(m+1)^2$ 。 $\sqrt M=10^j$ ， $m=10^j-1$ 。 $M/4+10^j-1$ ， $f(2j)=\dfrac{10^{2j}}4+10^j.$

计算间隙前最后写下的数可得对 $j=1,\ldots,1008$ 求和：相加时没有进位，所以各位数字之和为 $1008\cdot(2+5)$ $+1008\cdot 1=1008\cdot 8=8064$ 。 $\begin{gathered} \sum_{j=1}^{1008}f(2j)\\ =25\sum_{j=0}^{1007}10^{2j}\\ {}+10\sum_{j=0}^{1007}10^{j}\\ =\underbrace{2525\cdots25}_{2016\text{ digits}}\\ {}+\underbrace{111\cdots10}_{1009\text{ digits}}. \end{gathered}$

所以正确答案是 E。

Take $k=2j.$ The smallest perfect square with $k+1$ digits is $10^{k}=(10^{j})^2,$ and after Silvia erases, the numbers shown are $\left\lfloor n^2/10^{k}\right\rfloor$ for $n=10^{j}, 10^{j}+1,\ldots$

Put $M=10^k.$ A jump of at least $2$ from $n$ to $n+1$ requires $(n+1)^2-n^2=2n+1\gt M,$ so write $n=M/2+m$ with $m\ge0.$ The case $m=0$ gives a jump of only $1,$ so the first larger jump has $m\ge1.$ Let $A=\left\lfloor n^2/M\right\rfloor$ and $B=\left\lfloor(n+1)^2/M\right\rfloor.$ Because $M$ is divisible by $4,$ $\begin{aligned} A&=\dfrac M4+m+\left\lfloor\dfrac{m^2}{M}\right\rfloor,\\ B&=\dfrac M4+m+1\\ &\quad{}+\left\lfloor\dfrac{(m+1)^2}{M}\right\rfloor. \end{aligned}$

Therefore the first jump of at least $2$ occurs at the first $m$ for which $m^2\lt M\le(m+1)^2.$ Since $\sqrt M=10^j,$ this is $m=10^j-1.$ The last displayed value before the gap is $M/4+10^j-1,$ so the smallest missing integer is $f(2j)=\dfrac{10^{2j}}4+10^j.$

Summing over $j=1,\ldots,1008,$ $\begin{gathered} \sum_{j=1}^{1008}f(2j)\\ =25\sum_{j=0}^{1007}10^{2j}\\ {}+10\sum_{j=0}^{1007}10^{j}\\ =\underbrace{2525\cdots25}_{2016\text{ digits}}\\ {}+\underbrace{111\cdots10}_{1009\text{ digits}}. \end{gathered}$ There are no carries, so the digit sum is $1008\cdot(2+5)$ $+1008\cdot 1=1008\cdot 8=8064.$

Thus, the correct answer is E.

2016 AMC 12A 第 25 题

答案：E

难度评级：2720

解答：

其他年份的第 25 题