2015 AMC 12B 第 25 题

Question

一只蜜蜂从点

P_0

出发飞行。她向正东方向飞

1

英寸到点

P_1

。对

j \ge 1

，一旦蜜蜂到达点

P_j

，她就逆时针转

30^\circ

，然后沿直线飞

j + 1

英寸到点

P_{j+1}

。当蜜蜂到达

P_{2015}

时，她距离

P_0

恰好为

a\sqrt b + c\sqrt d

英寸，其中

a

、

b

、

c

和

d

是正整数，且

b

和

d

都不能被任何质数的平方整除。

a + b + c + d

是多少？

A bee starts flying from point

P_0.

She flies

1

inch due east to point

P_1.

For

j \ge 1,

once the bee reaches point

P_j,

she turns

30^\circ

counterclockwise and then flies

j + 1

inches straight to point

P_{j+1}.

When the bee reaches

P_{2015}

she is exactly

a\sqrt b + c\sqrt d

inches away from

P_0,

where

a,

b,

c,

and

d

are positive integers and

b

and

d

are not divisible by the square of any prime. What is

a + b + c + d?

2016

2024

2032

2040

2048

答案：B

知识点：复数单位根等比数列

难度评级：2780

小提示：

用复数表示路径：

P_0 = 0

，

z = e^{\frac{\pi i}{6}}

，且

P_n = \sum_{k=1}^{n} k z^{k-1}

。

Model the path with complex numbers:

P_0 = 0,

z = e^{\frac{\pi i}{6}},

and

P_n = \sum_{k=1}^{n} k z^{k-1}

大提示：

求和该级数，然后使用

z^{12} = 1

和

|z - 1|^2 = 2 - \sqrt3

。

Sum the series, then use

z^{12} = 1

and

|z - 1|^2 = 2 - \sqrt3

解答：

令

P_0 = 0

，并设

z = e^{\frac{\pi i}{6}}

，则长度为

k

、方向为

z^{k-1}

的每一步给出

P_{2015} = \sum_{k=1}^{2015} k z^{k-1}

。对这个级数求和（对几何级数求导），得到

\begin{aligned} &P_{2015} = \dfrac{1}{(z - 1)^2} \\ &\quad {}\cdot \bigl(2015 z^{2016} - 2016 z^{2015} + 1\bigr) \end{aligned}\text{。}

因为

z^{12} = 1

，所以

z^{2016} = 1

且

z^{2015} = \tfrac1z

，因此

P_{2015} = \dfrac{2016}{z(z - 1)}

。使用

|z - 1|^2 = 2 - \sqrt3 = \dfrac{(\sqrt3 - 1)^2}{2}

以及

|z| = 1

，距离为

\dfrac{2016}{|z - 1|} = 1008\sqrt6 + 1008\sqrt2

。

因此

a + b + c + d = 1008 + 6 + 1008

+ 2 = 2024

。

因此，正确选项是 B。

Place

P_0 = 0

and let

z = e^{\frac{\pi i}{6}},

so each step of length

k

in direction

z^{k-1}

gives

P_{2015} = \sum_{k=1}^{2015} k z^{k-1}.

Summing this (a differentiated geometric series) leads to

\begin{aligned} &P_{2015} = \dfrac{1}{(z - 1)^2} \\ &\quad {}\cdot \bigl(2015 z^{2016} - 2016 z^{2015} + 1\bigr). \end{aligned}

Since

z^{12} = 1,

we have

z^{2016} = 1

and

z^{2015} = \tfrac1z,

so

P_{2015} = \dfrac{2016}{z(z - 1)}.

Using

|z - 1|^2 = 2 - \sqrt3 = \dfrac{(\sqrt3 - 1)^2}{2}

and

|z| = 1,

the distance is

\dfrac{2016}{|z - 1|} = 1008\sqrt6 + 1008\sqrt2.

Hence

a + b + c + d = 1008 + 6 + 1008

+ 2 = 2024.

Thus, the correct answer is B.

2015 AMC 12B 第 25 题

答案：B

难度评级：2780

小提示：

大提示：

解答：

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