2015 AMC 12A 第 14 题

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14.

求使下列方程成立的

a

的值：

\dfrac{1}{\log_2 a} + \dfrac{1}{\log_3 a} + \dfrac{1}{\log_4 a} = 1\text{？}

What is the value of

a

for which

\dfrac{1}{\log_2 a} + \dfrac{1}{\log_3 a} + \dfrac{1}{\log_4 a} = 1?

9

12

18

24

36

答案：D

知识点：对数

难度评级：1730

小提示：

\dfrac{1}{\log_b a} = \log_a b

。

\dfrac{1}{\log_b a} = \log_a b

大提示：

这个和变为

\log_a(2\cdot 3\cdot 4)

The sum becomes

\log_a(2\cdot 3\cdot 4)

解答：

根据换底公式，

\dfrac{1}{\log_b a} = \log_a b

。因此

\begin{aligned} &1 = \log_a 2 + \log_a 3 \\ &\quad {}+ \log_a 4 = \log_a 24 \end{aligned}\text{。}

由此可得

a = 24

。

因此，正确答案是 D。

By the change-of-base formula,

\dfrac{1}{\log_b a} = \log_a b.

Therefore

\begin{aligned} &1 = \log_a 2 + \log_a 3 \\ &\quad {}+ \log_a 4 = \log_a 24. \end{aligned}

It follows that

a = 24.

Thus, the correct answer is D.

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