Question

设 $a\lt b\lt c$ 为三个整数，使得 $a,b,c$ 成等差数列，而 $a,c,b$ 成等比数列。 $c$ 的最小可能值是多少？

Let $a\lt b\lt c$ be three integers such that $a,b,c$ is an arithmetic progression and $a,c,b$ is a geometric progression. What is the smallest possible value for $c?$

$-2$

$1$

$2$

$4$

$6$

答案：C

知识点：等差数列等比数列丢番图方程

难度评级：1630

解答：

设 $d=b-a\gt0$ ，则 $b=a+d$ ， $c=a+2d$ 。因为 $a,c,b$ 成等比数列，化简得 $3ad+4d^2=0$ ，所以 $3a+4d=0$ 。 $\begin{gathered} \dfrac{c}{a}=\dfrac{b}{c}\\ \implies(a+2d)^2=a(a+d), \end{gathered}$

于是 $a=-4k$ 、 $d=3k$ ，其中 $k$ 为正整数，因此 $c=a+2d=2k$ 。最小值为 $c=2$ ，此时 $a=-4$ 、 $b=-1$ 、 $c=2$ 。

所以正确答案是 C。

Let $d=b-a\gt0,$ so $b=a+d$ and $c=a+2d.$ Since $a,c,b$ is geometric, $\begin{gathered} \dfrac{c}{a}=\dfrac{b}{c}\\ \implies(a+2d)^2=a(a+d), \end{gathered}$ which simplifies to $3ad+4d^2=0,$ so $3a+4d=0.$

Then $a=-4k$ and $d=3k$ for a positive integer $k,$ giving $c=a+2d=2k.$ The smallest value is $c=2$ (with $a=-4,$ $b=-1,$ $c=2$ ).

Thus, the correct answer is C.

2014 AMC 12A 第 14 题

答案：C

难度评级：1630

解答：

其他年份的第 14 题