2014 AMC 12A 第 14 题

Question

设

a\lt b\lt c

为三个整数，使得

a

，

b

，

c

成等差数列，而

a

，

c

，

b

成等比数列。

c

的最小可能值是多少？

Let

a\lt b\lt c

be three integers such that

a,

b,

c

is an arithmetic progression and

a,

c,

b

is a geometric progression. What is the smallest possible value for

c?

-2

1

2

4

6

答案：C

知识点：等差数列等比数列丢番图方程

难度评级：1630

小提示：

设公差为

d

，则

b=a+d

、

c=a+2d

。

Let the common difference be

d

:

b=a+d

and

c=a+2d

大提示：

因为

a,c,b

成等比数列，

c^2=ab

；这会化简为

3a+4d=0

。

Since

a,c,b

is geometric,

c^2=ab

; this simplifies to

3a+4d=0

解答：

设

d=b-a\gt0

，则

b=a+d

，

c=a+2d

。因为

a,c,b

成等比数列，

\begin{gathered} \dfrac{c}{a}=\dfrac{b}{c}\\ \implies(a+2d)^2=a(a+d)\text{，} \end{gathered}

化简得

3ad+4d^2=0

，所以

3a+4d=0

。

于是

a=-4k

、

d=3k

，其中

k

为正整数，因此

c=a+2d=2k

。最小值为

c=2

，此时

a=-4

、

b=-1

、

c=2

。

所以正确答案是 C。

Let

d=b-a\gt0,

so

b=a+d

and

c=a+2d.

Since

a,c,b

is geometric,

\begin{gathered} \dfrac{c}{a}=\dfrac{b}{c}\\ \implies(a+2d)^2=a(a+d), \end{gathered}

which simplifies to

3ad+4d^2=0,

so

3a+4d=0.

Then

a=-4k

and

d=3k

for a positive integer

k,

giving

c=a+2d=2k.

The smallest value is

c=2

(with

a=-4,

b=-1,

c=2

).

Thus, the correct answer is C.

2014 AMC 12A 第 14 题

答案：C

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

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